实对称矩阵（特征值互异且非零）特征分解中正交矩阵U的唯一性探讨

最近我在琢磨一个问题，是从矩阵奇异值分解（SVD）唯一性相关的讨论里引申出来的，尤其是其中的首个回答给了我不少启发。

先明确前提：假设$A$是一个$m\times m$的实对称矩阵，而且它的所有特征值都是互不相同的非零值。根据实对称矩阵的性质，它一定可以正交对角化——也就是说，存在一个对角矩阵$D$（对角元素就是$A$的那些互异特征值）和一个正交矩阵$U$，满足关系式：
$$A=UDU^T$$

我现在的疑问是：这里的正交矩阵$U$的唯一性到底是怎样的？目前我初步的结论，是从之前那个讨论里的思路推导来的（就是其中提到的关于特征向量符号调整的核心步骤）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathguest