独立幂变换均匀分布变量的链不等式概率计算与推广问询
嘿，这个问题挺有意思的！先帮你纠正个小细节：你写的积分式里$\prod_{i=1}{n}dy_{i}{a_{i}}$应该是笔误啦，$Y_i$的概率密度函数是$f_i(y_i) = a_i y_i^{a_i - 1}$（因为分布函数是$F{a_i}(y)=y{a_i}$，对$y$求导就能得到密度），所以正确的概率积分表达式应该是：
$$P(Y_{1}<…<Y_{n})=\int_{0<y_{1}<…<y_{n}<1}\prod_{i=1}^{n}a_i y_i^{a_i - 1} dy_i$$
先从你尝试的n=2情况说起
你提到n=2时得到的结果是$\frac{a_{1}a_{2}}{a_{1}a_{2}+a_{2}}$，可能是积分式写错导致的偏差，正确的计算过程应该是这样的：
$$
\begin{align*}
P(Y_1 < Y_2) &= \int_0^1 \int_0^{y_2} a_1 y_1^{a_1-1} a_2 y_2^{a_2-1} dy_1 dy_2 \
&= a_1a_2 \int_0^1 y_2^{a_2-1} \left( \int_0^{y_2} y_1^{a_1-1} dy_1 \right) dy_2 \
&= a_1a_2 \int_0^1 y_2^{a_2-1} \cdot \frac{y_2^{a_1}}{a_1} dy_2 \
&= a_2 \int_0^1 y_2^{a_1 + a_2 -1} dy_2 \
&= \frac{a_2}{a_1 + a_2}
\end{align*}
$$
推广到一般n的情况
我们可以通过累次积分递推的方法推导通用公式：
对于$0 < y_1 < y_2 < ... < y_n < 1$，把多重积分拆成逐层计算的累次积分：
$$
P(Y_1 < ... < Y_n) = \int_0^1 a_n y_n^{a_n -1} \left( \int_0^{y_n} a_{n-1} y_{n-1}^{a_{n-1}-1} \left( ... \int_0^{y_2} a_1 y_1^{a_1-1} dy_1 ... \right) dy_{n-1} \right) dy_n
$$
从最内层开始计算：
- 最内层：$\int_0^{y_2} a_1 y_1^{a_1-1} dy_1 = y_2^{a_1}$
- 第二层：$\int_0^{y_3} a_2 y_2^{a_2-1} \cdot y_2^{a_1} dy_2 = \frac{a_2}{a_1+a_2} y_3^{a_1+a_2}$
- 第三层：$\int_0^{y_4} a_3 y_3^{a_3-1} \cdot \frac{a_2}{a_1+a_2} y_3^{a_1+a_2} dy_3 = \frac{a_2a_3}{(a_1+a_2)(a_1+a_2+a_3)} y_4^{a_1+a_2+a_3}$
- ...以此类推，每一层都会把前面积累的和作为指数分母，同时乘当前的$a_k$
最终归纳出通用公式：
$$
P(Y_1 < ... < Y_n) = \prod_{k=1}^n \frac{a_k}{\sum_{i=1}^k a_i}
$$
或者展开写成：
$$
P(Y_1 < ... < Y_n) = \frac{a_1 a_2 ... a_n}{a_1 \cdot (a_1+a_2) \cdot (a_1+a_2+a_3) \cdot ... \cdot (a_1+a_2+...+a_n)}
$$
验证一下n=2的情况，代入公式得到$\frac{a_1}{a_1} \cdot \frac{a_2}{a_1+a_2} = \frac{a_2}{a_1+a_2}$，和我们之前的计算完全一致，说明公式是正确的。
你之前的尝试方向是对的，这个结果确实可以完美推广到任意n的情况，核心就是利用累次积分逐层化简，每一步都把内层积分的结果转化为外层变量的幂函数，最终得到乘积形式的表达式。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者whatisaring
