寻求Gisin“简洁”贝尔不等式相关组合恒等式的解析证明

嗨，我来帮你搞定这个组合恒等式的解析证明！咱们可以分奇偶情况讨论，结合组合数的基本性质一步步推导：

首先明确要证明的恒等式：
$$n\binom{n-1}{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} = \sum_{r=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}(n-2 r)\binom{n}{r}$$

先把右边的求和式拆成两部分，方便后续计算：
$$\sum_{r=0}^m (n-2r)\binom{n}{r} = n\sum_{r=0}^m \binom{n}{r} - 2\sum_{r=0}^m r\binom{n}{r}$$
这里记 $m = \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$。

情况1：n为奇数（设n=2t+1，t为整数） #

此时 $m = \left\lfloor\frac{2t+1-1}{2}\right\rfloor = t$。

• 左边计算：
  $$n\binom{n-1}{m} = (2t+1)\binom{2t}{t}$$

• 右边第一部分求和：
  对于奇数n=2t+1，组合数的对称性可知 $\sum_{r=0}^t \binom{2t+1}{r} = 2^{2t} = 2^{{n-1}$（前t+1项和后t+1项相等，总和是$2}{2t+1}$，一半就是$2^{2t}$）。

• 右边第二部分求和：
  利用组合数公式 $r\binom{n}{r} = n\binom{n-1}{r-1}$，代入得：
  $$\sum_{r=0}^t r\binom{2t+1}{r} = (2t+1)\sum_{s=0}^{t-1} \binom{2t}{s}$$
  这里令$s=r-1$，当r从1到t时，s从0到t-1。而$\sum_{s=0}^{t-1}\binom{2t}{s} = \frac{2^{2t} - \binom{2t}{t}}{2}$（2t是偶数，前t项和后t项相等，总和$2^{2t}$减去中间项$\binom{2t}{t}$后平分）。

• 合并右边两项：
  $$
  \begin{align*}
  右边 &= (2t+1)\cdot2^{2t} - 2\cdot(2t+1)\cdot\frac{2^{2t} - \binom{2t}{t}}{2} \
  &= (2t+1)2^{2t} - (2t+1)(2^{2t} - \binom{2t}{t}) \
  &= (2t+1)\binom{2t}{t}
  \end{align*}
  $$
  显然和左边相等。

情况2：n为偶数（设n=2t，t为整数） #

此时 $m = \left\lfloor\frac{2t-1}{2}\right\rfloor = t-1$。

• 左边计算：
  $$n\binom{n-1}{m} = 2t\binom{2t-1}{t-1}$$
  利用组合数性质 $\binom{2t}{t} = 2\binom{2t-1}{t-1}$，可化简为：
  $$2t\binom{2t-1}{t-1} = t\binom{2t}{t}$$

• 右边第一部分求和：
  对于偶数n=2t，$\sum_{r=0}^{t-1}\binom{2t}{r} = \frac{2^{2t} - \binom{2t}{t}}{2} = 2^{2t-1} - \frac{1}{2}\binom{2t}{t}$。

• 右边第二部分求和：
  同样用$r\binom{n}{r}=n\binom{n-1}{r-1}$，得：
  $$\sum_{r=0}^{t-1}r\binom{2t}{r} = 2t\sum_{s=0}^{t-2}\binom{2t-1}{s}$$
  这里2t-1是奇数，$\sum_{s=0}^{t-2}\binom{2t-1}{s} = \frac{2^{2t-1} - \binom{2t-1}{t-1}}{2}$，再结合$\binom{2t-1}{t-1} = \frac{1}{2}\binom{2t}{t}$，代入后：
  $$\sum_{r=0}^{t-1}r\binom{2t}{r} = 2t\cdot\frac{2^{2t-1} - \frac{1}{2}\binom{2t}{t}}{2} = t\cdot2^{2t-1} - t\cdot\frac{1}{2}\binom{2t}{t}$$

• 合并右边两项：
  $$
  \begin{align*}
  右边 &= 2t\cdot\left(2^{2t-1} - \frac{1}{2}\binom{2t}{t}\right) - 2\cdot\left(t\cdot2^{2t-1} - t\cdot\frac{1}{2}\binom{2t}{t}\right) \
  &= t\cdot2^{2t} - t\binom{2t}{t} - t\cdot2^{2t} + t\binom{2t}{t} \
  &= t\binom{2t}{t}
  \end{align*}
  $$
  这也和左边化简后的结果一致。

这样不管n是奇数还是偶数，恒等式都成立啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Neil