关于二元函数单射性等价条件的充要性及冗余性的技术问询

嘿，咱们来好好拆解你提出的这个关于二元函数单射性的问题哈～

首先先明确几个核心命题的定义：

• 命题(A)：$f(x_0, y_0) = f(x_1, y_1)$ 当且仅当 $x_0=x_1$ 且 $y_0=y_1$。本质上这就是说二元函数$f$是单射（一对一函数）——定义域里任意两个不同的点，对应的函数值一定不同。

然后是三个子命题：

• (a) 对任意 $x_0 \neq x_1$，都有 $f(x_0, y_0) \neq f(x_1, y_0)$。换句话说，固定y值时，f关于x是单射。
• (b) 对任意 $y_0 \neq y_1$，都有 $f(x_0, y_0) \neq f(x_0, y_1)$。也就是固定x值时，f关于y是单射。
• (c) 对任意 $x_0 \neq x_1$ 且 $y_0 \neq y_1$，都有 $f(x_0, y_0) \neq f(x_1, y_1)$。意思是当两个变量同时取不同值时，函数值一定不同。

你已经知道(A)可以推出(a)(b)(c)，现在咱们来解答你的两个核心疑问：

1. (a)(b)(c)三者合起来是否是(A)的充要条件？ #

答案是是的。咱们来证明充分性：
假设(a)(b)(c)都成立，要推导(A)成立，也就是要证：如果 $f(x_0,y_0)=f(x_1,y_1)$，那么必然有 $x_0=x_1$ 且 $y_0=y_1$。
用反证法：假设结论不成立，那么会出现三种情况：

• 情况1：$x_0 \neq x_1$ 但 $y_0=y_1$。根据(a)，此时 $f(x_0,y_0) \neq f(x_1,y_0)$，但这和已知的 $f(x_0,y_0)=f(x_1,y_1)$ 矛盾；
• 情况2：$y_0 \neq y_1$ 但 $x_0=x_1$。根据(b)，此时 $f(x_0,y_0) \neq f(x_0,y_1)$，同样和已知矛盾；
• 情况3：$x_0 \neq x_1$ 且 $y_0 \neq y_1$。根据(c)，此时 $f(x_0,y_0) \neq f(x_1,y_1)$，还是和已知矛盾。

三种情况都导出矛盾，所以假设不成立，必须有 $x_0=x_1$ 且 $y_0=y_1$，也就是(A)成立。结合你已经知道的(A)推(a)(b)(c)，所以三者合起来是(A)的充要条件。

2. 如果去掉其中一个条件，剩下的两个能否推出(A)？ #

答案是都不能，咱们分别举反例来说明：

• 去掉(c)，保留(a)(b)：比如定义函数 $f(x,y)=x+y$。
  • 固定y时，x不同则x+y不同，满足(a)；
  • 固定x时，y不同则x+y不同，满足(b)；
  • 但存在 $x_0=1,y_0=2$ 和 $x_1=2,y_1=1$，此时 $f(1,2)=3=f(2,1)$，但 $(1,2) \neq (2,1)$，也就是(A)不成立。
• 去掉(a)，保留(b)(c)：比如定义函数 $f(x,y)=y$。
  • 固定x时，y不同则函数值不同，满足(b)；
  • 当x0≠x1且y0≠y1时，$f(x0,y0)=y0 \neq y1=f(x1,y1)$，满足(c)；
  • 但存在 $x_0=1,y_0=2$ 和 $x_1=2,y_0=2$，此时 $f(1,2)=2=f(2,2)$，但 $(1,2) \neq (2,2)$，(A)不成立。
• 去掉(b)，保留(a)(c)：比如定义函数 $f(x,y)=x$。
  • 固定y时，x不同则函数值不同，满足(a)；
  • 当x0≠x1且y0≠y1时，$f(x0,y0)=x0 \neq x1=f(x1,y1)$，满足(c)；
  • 但存在 $x_0=2,y_0=1$ 和 $x_0=2,y_1=2$，此时 $f(2,1)=2=f(2,2)$，但 $(2,1) \neq (2,2)$，(A)不成立。

所以结论很明确：(a)(b)(c)三个条件缺一不可，只有三者同时满足，才能等价于(A)。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user412933