条件中边缘化操作的合法性疑问及概率推导困惑

各位大佬，最近我在看一段概率推导的时候彻底懵了，有个步骤怎么想都觉得不对，想请大家帮忙捋捋：

推导里给出了这么个等式：
$$\Pr(y\ |\ x\ \cap\ \vec D) = \int_\vec w \Pr(y\ |\ x\ \cap\ \vec D\ \cap\ \vec w)\ d\vec w = \int_\vec w \Pr(y\ |\ x\ \cap\ \vec w)\Pr(\vec w\ |\ \vec D)\ d\vec w$$

这两步我完全没看明白，甚至觉得第一步明显有问题。我特意拿$\vec w$是一维的情况来拆解分析：

假设我们把这些概率对应的样本空间用韦恩图表示，然后用图像编辑器把$x\ \cap\ \vec D$以外的部分都裁掉，只留下这个区域作为新的样本空间。在这个新空间里，原推导的第一步就等价于声称：
$$\Pr(y) = \int_w \Pr(y\ |\ w)\ dw$$

可问题是这里的$w$对应的是密度函数啊……这样直接积分的话逻辑根本说不通吧？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user10478