求证单位圆盘内满足特定辐角条件的解析函数在1/2处的取值为实数

设函数 $f: \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的解析函数，满足条件：当 $\arg z = \pm \frac{\pi}{3}$ 时，$f(z)$ 为实数。请证明 $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 是实数。

先明确这个条件的具体范围：所有满足辐角为 $\pm \frac{\pi}{3}$ 的点 $z$（也就是形如 $z = re^{\pm i\pi/3}$，其中 $r>0$ 且 $z$ 落在单位圆盘内），代入 $f$ 后得到的函数值都是实数。

首先能想到的典型点就是单位圆上的这两个点：$e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $e^{-i\pi/3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$，其他符合条件的点都是这两个点的正实数倍（只要在单位圆盘内即可）。

现在要证明 $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 是实数，直觉上就觉得这和这些特殊点密切相关——毕竟 $\frac{1}{2}$ 刚好是这两个单位点的实部，大概率可以通过构造辅助函数来利用解析函数的特性，比如 Schwarz 反射原理，或者分析函数虚部在这两条射线上的零点性质，进而推导在 $\frac{1}{2}$ 处的虚部也为零。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aram Nazaryan