整数环ℤ与二次整数环ℤ[√2]中整数元素最大公因子的等价性证明问询

给定整数 $a, b \in \mathbb{Z}$，如何证明在整数环 $\mathbb{Z}$ 中的 $\gcd(a,b)$，与在二次整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 中的 $\gcd(a,b)$ 是相等的？

我目前梳理了几个初步的思路：

• 当 $a$ 或 $b$ 与1相伴时，不管是在哪个整环里，$\gcd(a, b)$ 都是1，这一点两个环的结果完全一致。
• 当 $a=0$ 或者 $b=0$ 时，$\gcd(0, b)=b$、$\gcd(a, 0)=a$，这种特殊情况在两个整环里的结果也没有差别。
• 对于其他一般情况，我先设 $c = \gcd(a, b) \in \mathbb{Z}$，再设 $\bar{c} = \gcd(a, b) \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$，不过后续的推导还没完成，想请教大家怎么往下推进。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者meerkat