有限测度补集的闭集相关积分几乎处处有限性的证明问询

问题描述 #

设$F \subset \mathbb R^{n$是闭集，且其补集的测度$m(F}c)<\infty$，定义积分：
$$I(x)= \int_{\mathbb R^n} \frac{d(y,F)}{|x-y|^{n+1}}dy$$
其中$d(y,F)= \inf_{z\in F} |y-z|$是点$y$到闭集$F$的欧氏距离。需要证明：对几乎所有$x\in F$，有$I(x)<\infty$。

我的证明尝试（用户提供） #

假设$x\in F$，由于对任意$y\in F$都有$d(y,F)=0$，因此可以拆分积分并化简得到：
$$I(x)= \int_{F} \frac{d(y,F)}{|x-y|^{n+1}} dy +\int_{F^c} \frac{d(y,F)}{|x-y|^{n+1}}dy = \int_{F^c} \frac{d(y,F)}{|x-y|^{n+1}} dy$$

接下来只需证明$\int_F I(x) dx <\infty$——因为如果这个积分有限，根据非负可测函数的积分性质，就能推出$I(x)$在$F$上几乎处处有限。为此我们可以用富比尼定理交换积分顺序：
\begin{align*}
\int_F I(x) dx &= \int_F \left( \int_{F^c} \frac{d(y,F)}{|x-y|^{n+1}} dy \right) dx \
&= \int_{F^c} d(y,F) \left( \int_F \frac{1}{|x-y|^{n+1}} dx \right) dy
\end{align*}

后续证明补充（基于你的思路完成） #

现在我们需要估计内层积分$\int_F \frac{1}{|x-y|^{n+1}} dx$的大小：
对于任意$y\in F^c$，记$r=d(y,F)$。因为$F$是闭集，所以存在$z_y\in F$使得$|y-z_y|=r$，且$F$与开球$B(y,r)$不交（否则会存在$F$中的点到$y$的距离小于$r$，与$r$的定义矛盾），因此$F \subset \mathbb R^n \setminus B(y,r)$。

于是内层积分可以被如下估计：
$$\int_F \frac{1}{|x-y|^{n+1}} dx \leq \int_{\mathbb R^n \setminus B(y,r)} \frac{1}{|x-y|^{n+1}} dx$$

用$n$维极坐标计算这个积分（令$t=|x-y|$），其中$\omega_n$表示$\mathbb R^n$中单位球的表面积：
$$\int_{\mathbb R^n \setminus B(y,r)} \frac{1}{|x-y|^{n+1}} dx = \omega_n \int_r^\infty \frac{1}{t^{n+1}} \cdot t^{n-1} dt = \omega_n \int_r^\infty \frac{1}{t^2} dt = \frac{\omega_n}{r}$$

注意到$r=d(y,F)$，将这个估计代入回原积分：
$$\int_F I(x) dx \leq \int_{F^c} d(y,F) \cdot \frac{\omega_n}{d(y,F)} dy = \omega_n \int_{F^c} dy = \omega_n m(F^c)$$

因为已知$m(F^c)<\infty$，所以$\omega_n m(F^c)<\infty$，即$\int_F I(x) dx <\infty$。

由于$I(x)$是非负可测函数，根据非负函数积分有限则几乎处处有限的性质，可知$I(x)<\infty$对几乎所有$x\in F$成立，证毕。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hyperbolic Cake