关于奇数n时aⁿ+bⁿ因式分解公式的一般性证明问询

最近我读了无数数学文章，里面都引用了这个公式：
$$ a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... - ab^{n-2} + b^{n-1}) $$
当n为奇数时成立。

我一直好奇怎么推导出来这个结论。直觉上我觉得挺合理的，所以先从测试特定的奇数n开始入手：

• 当n=1时：$a + b = (a+b)(1) = a+b$，显然成立
• 当n=3时：$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^{2)$，展开右边后抵消掉中间项，确实等于左边的$a}3 + b^3$
• 当n=5时：$a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b2 -ab^3 + b^4)$，化简后也完全成立

后来我还试了好多更大的奇数：9、13、15、21、39……（试到快疯了，还好靠多项式展开计算器帮了大忙），结果全都成立。

但问题来了——怎么对所有奇数n给出一般性的证明呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AshishMath