数值积分优化与精度阶数：c=h时两点求积公式的最优系数及最高精确多项式阶数求解

最近我在刷数值分析的过往真题，准备后续的考试，碰到这么一个积分求积的问题，想跟大家梳理下我的推导过程：

我们考虑如下形式的数值求积公式：
$$\int_0^h f(x),dx=af(0)+bf(c)$$

当取$c=h$时，题目要求找到最优的系数$a$和$b$，让这个公式能对尽可能高次的多项式精确成立，同时确定这个最高的多项式次数。

我自然想到用拉格朗日插值的方法来推导：首先构造对应节点$x=0$和$x=h$的一次拉格朗日插值多项式$\Pi_1(x)$，它的表达式是：
$$\Pi_1(x) = \frac{h-x}{h}f(0)+\frac{x}{h}f(h)$$

接下来对这个插值多项式在区间$[0,h]$上积分，就能得到求积公式的系数：
$$\int_0^h \Pi_1(x),dx=\int_0^h \frac{h-x}{h}f(0)+\frac{x}{h}f(h),dx=\frac{h}{2}f(0)+ \frac{h}{2}f(h)$$

所以很明显最优的系数就是$a=b=\frac{h}{2}$，这其实就是我们熟悉的梯形求积公式。

然后来看它的精确阶数：根据拉格朗日插值的误差公式，$f(x)$和插值多项式$\Pi_1(x)$的差满足：
$$f(x)-\Pi_1(x)= \frac{f''(\xi(x))}{2!}x(x-h),\quad \xi(x)\in[0,h]$$

当$f(x)$是次数≤1的多项式时，它的二阶导数$f''(x)=0$，误差就为0，这时候求积公式是精确成立的；而当$f(x)$是二次多项式（比如$f(x)=x^{2$）时，代入公式验证：左边积分结果是$\int_0}h x^2 dx = \frac{h^{3}{3}$，右边是$\frac{h}{2}f(0)+\frac{h}{2}f(h)=\frac{h}{2}*0+\frac{h}{2}*h}2=\frac{h^3}{2}$，左右两边不相等，说明公式对二次多项式不精确。

所以这个求积公式能精确成立的最高次多项式次数是1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Diffusion