复矩阵空间中矩阵相似类的闭性问题

先明确几个基础设定：

• 这里的$\sim$表示两个矩阵相似；
• 我们讨论的是$M_n(\mathbb{C})$上的标准拓扑——也就是和$\mathbb{C}^{n \times n}$等价的拓扑。

一维复矩阵的情况 #

当$n=1$时，相似类$S$只能是${0}$或者整个$\mathbb{C}$，这两个集合都是闭集。

满足$X^2=I$的矩阵相似类 #

如果我们限定所有矩阵都满足$X^2=I$，那么不管$n$取任意正整数，对应的相似类$S$都是闭集，推导过程如下：

设$Z \in T = M_n(\mathbb{C}) \setminus S$（即$Z$不在目标相似类中），那么$Z$只有两种情形：要么满足$Z^2=I$，要么不满足。

若$Z^2 - I \neq 0$，考虑映射$f(U) = U^2 - I$，这个函数是连续的——（原文此处未完成，按现有内容保留）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Arthur Queiroz