单位圆盘内全纯函数方程$f(g(z))=F(z,f(z))$的解析求解方法问询

我现在有个问题想和大家探讨：假设$f,g$是单位圆盘内的全纯函数，$F=F(z,w)$是二元全纯函数，那我们能不能用解析的闭形式（包括级数、乘积或者初等函数）来求解方程
$$f(g(z))=F(z,f(z))$$
在单位圆盘内的解$f$？哪怕是近似解也可以。

我自己已经有一些初步的思路：在一些温和的假设下，隐函数定理能保证这样的$f$是存在的；而且我觉得用迭代方法取极限应该也能得到结果——用不动点定理来处理这类问题应该会很合适。更激进一点的话，伽罗瓦理论和域扩张的思路说不定也能带来一些新的结论。

如果问题太难的话，我们也可以先简化假设：比如让$F$是关于两个变量的多项式函数。

不知道大家有没有什么好的建议或者思路可以分享？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Prelude