关于有理函数$rac{2(x-3)(x+3)}{(x+3)^2(x+1)}$中$x=-3$为何是垂直渐近线而非可去间断点的疑问

嘿，我完全懂你的困惑！一开始我也觉得这个点应该是可去间断点，毕竟分子分母都有$(x+3)$的因子，但咱们得仔细拆解这里的细节：

首先得明确两个概念的核心区别：

• 可去间断点：当分子和分母中$(x-a)$的因子次数相等时，约分后这个点不会再让分母为0，函数在该点的极限是一个有限值，只是原函数在该点没定义而已。
• 垂直渐近线：当分母中$(x-a)$的因子次数高于分子的时，就算约分后，这个点依然会让分母趋近于0，而分子此时不为0，导致函数在该点的极限趋向于正无穷或负无穷。

回到这个函数：

• 分子里的$(x+3)$是1次的，也就是$(x+3)^1$
• 分母里的$(x+3)$是2次的，也就是$(x+3)^2$

当我们对原函数约分后，得到$\frac{2(x-3)}{(x+3)(x+1)}$——你看，分母里还剩一个$(x+3)$的因子！这就意味着当$x$趋近于-3时，分母还是会趋近于0，而此时分子的值是$2(-3-3)=-12≠0$，完全符合垂直渐近线的定义。

咱们再用极限验证一下：当$x$从左右两边趋近于-3时，比如取$x=-3+h$（$h$趋近于0），代入原函数得到：
$$\frac{2(-3+h-3)(h)}{(h)^2(-3+h+1)} = \frac{2(-6+h)h}{h^2(-2+h)} = \frac{2(-6+h)}{h(-2+h)}$$
当$h$趋近于0时，分母里的$h$会让整个式子趋向于正无穷或负无穷（取决于$h$的正负），而不是一个有限的数，这正是垂直渐近线的特征，而可去间断点的极限是有限的。

简单说就是：相同因子的次数，分母比分子多一次，约分后还留着分母的因子，所以是垂直渐近线，不是可去间断点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者anon