Prime-entangled Addition相关数论猜想的正确性证明请求及研究建议咨询

各位数论领域的同行们好，我最近有个关于整数加法质因数的直觉猜想，想请大家帮忙验证它是否成立，也希望能得到一些研究思路上的指引：

猜想的前提与结论 #

• 修正后的前提条件：
  1. $x$、$y$、$z$均为大于2的正整数
  2. $x$和$y$都能整除$z$（即存在整数$a$、$b$，使得$z = a \cdot x = b \cdot y$）
  3. $x \neq y$
• 猜想结论：$x + y + z$一定存在不整除$z$的质因数

我目前的研究进展与困惑 #

我自己已经尝试去关联模算术、组合数学（尤其是项链问题）以及费马小定理这些方向，感觉它们和这个猜想都有点关联，但就是没法把这些知识点串起来形成完整的证明或者找到反例。

真心希望有人能帮忙证明这个猜想的正确性，或者找到反例推翻它；另外如果有相关的研究思路、方向建议也非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Abulafia