极坐标下拉普拉斯算子转换出错的技术求助

我最近在把拉普拉斯算子转换成极坐标的过程中卡壳了，中间肯定哪里出了问题，真心希望能有人帮我排查一下！

前提：可能我用的有些符号不太规范，如果这恰好是问题的根源，也一定要指出来哦！

我们定义坐标变换映射为：
$$
\begin{align}
\eta: \mathbb R_{\geq}\times (-\pi, \pi]&\rightarrow \mathbb R^2\
(r,\theta)&\mapsto (x,y):=(r \cos(\theta),r\sin(\theta))
\end{align}
$$

先假设我们使用$\mathbb R^2$的标准基，记为$E_2 :=(e_1,e_2)$。

给定$\eta$定义域内的一个正则点$(r,\theta)$，以及任意二阶连续可微函数$u\in C^2(\mathbb R^2,\mathbb R)$，对应标准基$E_2$的微分的标准表示是复合函数的雅可比矩阵……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andreas Compagnoni