求解满足特定性质与函数方程的全体光滑函数

我现在想要找出所有满足以下全部性质的函数：

• 定义域为 $(0,+\infty)$
• $f \in C^\infty(0,+\infty)$（即在定义域上无穷次可导且光滑）
• 满足初值条件 $f(1)=1$
• 极限条件 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$
• 反常积分 $\displaystyle\int_0^1 f(x) dx$ 收敛
• 函数方程 $x^2f(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$

我想要找出这类函数的原因是，满足上述所有性质的函数，会成立下面这个积分等式：
$$\displaystyle\int_0^1 f(x) dx = \displaystyle\int_1^{\infty} f(x) dx$$

由此可以直接推导出：
$$\displaystyle\int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) dx$$

这个结论可以通过变量替换 $t = \frac{1}{x}$ 来证明：令 $x = \frac{1}{t}$，则当 $x \to 0^+$ 时 $t \to +\infty$，$x=1$ 时 $t=1$，且 $dx = -\frac{1}{t^2}dt$，代入左侧积分：
$$\int_0^1 f(x)dx = \int_{\infty}^1 f\left(\frac{1}{t}\right) \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)dt = \int_1^{\infty} \frac{f\left(\frac{1}{t}\right)}{t^2}dt$$
再结合函数方程 $f\left(\frac{1}{t}\right)=t^2f(t)$，代入后就得到 $\int_1^{\infty} f(t)dt$，也就是右侧的积分，这样就完成了证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ultra