赋范向量空间中极小稠密子空间的存在性及相关性质问询

嘿，咱们来拆解这个关于赋范向量空间里极小稠密子空间的问题：

给定一个赋范向量空间$V$，是否总存在某个真稠密子空间，使得它除了自身之外不包含任何其他稠密子空间？如果存在的话，这类空间有没有什么非平凡的性质？

先从有限维情况说起：

• 有限维赋范向量空间里，根本不可能存在满足这个条件的真子空间。原因很简单：有限维空间的所有真子空间都是闭子空间，而闭子空间要稠密的话只能是空间本身，所以不存在“真且稠密”的子空间，更别提满足极小性了。

再看无限维情况：

• 无限维空间里是存在这类极小稠密子空间的。举个经典例子：拿可分希尔伯特空间来说，它有一组标准正交基$(e_n)$，考虑由这组基所有有限线性组合构成的子空间$\text{span}(e_n: n\geq1)$——这个子空间是整个希尔伯特空间的稠密子空间。
• 而且它满足极小性：如果你从这个子空间里去掉任意一个基向量$e_i$，得到的$\text{span}(e_n: n\geq1, n\neq i)$就不再稠密了，因为这个新子空间里的所有元素都和$e_i$正交，根本没法逼近$e_i$，自然也就没法稠密到整个空间。所以这个原有的张成子空间就是一个典型的“除自身外不包含其他稠密子空间”的真稠密子空间。

目前关于这类极小稠密子空间的非平凡性质，还可以进一步深挖，但从这个例子能看出，它们往往和空间的基结构、可分性这类核心性质紧密关联。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ken.Wong