关于Big O表示法的疑问：为何t(n)=1000n+283n²+4n³的有效上界是n⁴？

嘿，刚接触算法复杂度分析有这个疑问太正常啦！我来一步步给你理清楚：

首先得明确Big O表示法的核心：它用来描述函数的渐近上界，但我们通常追求的是最紧的上界——也就是能准确反映函数增长速度的那个“最小”的上界，而不是随便找个更大的阶数就行。

咱们先回到你的例子：t(n) = 1000n + 283n² + 4n³

按照Big O的加法规则：当多个项相加时，整体的复杂度由阶数最高的那一项决定。原因很简单：当n趋向于无穷大时，高阶项的增长速度会远远碾压低阶项，前面的系数（比如1000、283、4）根本起不到决定性作用。

举个直观的例子：

• 当n=100时，4n³是4,000,000，283n²是2,830,000，1000n是100,000——此时n³已经是绝对主导项；
• 当n=1000时，4n³是4,000,000,000，283n²是283,000,000，1000n是1,000,000——n³的优势会随着n增大越来越明显。

那为什么会有“最大有效上界是n⁴”的说法呢？其实严格来说，t(n)确实是O(n⁴)——因为你总能找到一个常数C（比如C=1）和n₀（比如n₀=10），当n≥n₀时，t(n) ≤ n⁴成立。但问题在于，n⁴是一个宽松的上界，它没有准确反映t(n)的实际增长速度，对于复杂度分析来说，这种描述的意义不大。

我们在实际使用Big O时，都会选择最紧的渐近上界，也就是这里的n³，因为它能精准告诉我们：当n足够大时，这个函数的增长速度和n³是一个量级的，而不是更慢或更快。

总结一下：

• n⁴是t(n)的一个上界，但不是有效（最紧）的上界；
• 按照加法规则，阶数最高的n³才是t(n)的最紧渐近上界，也是我们通常会使用的Big O表示。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Roomi