更换DNS服务商时如何避免数小时的服务中断？

最近我又换了DNS服务商——之前的那家满足不了我需要的某些功能。但每次换服务商，我的服务器都会宕机好几个小时，直到DNS缓存彻底更新完才恢复。我知道DNS是分布式缓存系统，缓存条目会保留好几个小时，但肯定有办法能无缝切换服务商不中断服务对吧？

我当时采取的核心步骤是这样的：

1. 把旧DNS服务商那边的所有DNS记录完整复制到新服务商的后台
2. 用dig @<目标DNS服务器地址>命令分别单独查询新旧服务商的主DNS服务器，确保两边的配置完全一致
3. 联系我的域名注册商，告知他们新的DNS域名服务器信息，包括新的NS、DNSKEY和DS记录；注册商会把这些信息同步到顶级域名注册表（我这边是.de域名，对应的就是DENIC）

大概在完成第三步的一小时后，我的服务器就没法通过DNS访问了。DNS解析直接失效了……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user2690527