伽马分布概率不等式证明中的积分估计问题

你的思路完全正确，把概率转化为1减去尾积分除以$k!$是解决这个问题的核心步骤。接下来我们只需要对尾积分$\int_{2(k+1)}^\infty x^k e^{-x}dx$做上界估计，就能推导出目标不等式。

首先明确：随机变量$X$服从伽马分布$\Gamma(\alpha,1)$，其中$\alpha = k+1 > 0$（因为伽马分布的形状参数必须为正），我们需要证明$P(X < 2\alpha) > \frac{\alpha-1}{\alpha} = \frac{k}{k+1}$，等价于证明$P(X \geq 2\alpha) < \frac{1}{\alpha}$，也就是$\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{2\alpha}^\infty x^{\alpha-1}e{-x}dx < \frac{1}{\alpha}$，进一步转化为$\int_{2\alpha}^\infty x^{\alpha-1}e{-x}dx < \frac{\Gamma(\alpha)}{\alpha}$。

我们分两种情况讨论：

情况1：$0 < \alpha \leq 1$（即$-1 < k \leq 0$） #

此时$\frac{1}{\alpha} \geq 1$，而概率$P(X \geq 2\alpha)$本身是不超过1的非负数，显然有$P(X \geq 2\alpha) \leq 1 < \frac{1}{\alpha}$，直接满足不等式。对应的$P(X < 2\alpha) = 1 - P(X \geq 2\alpha) \geq 0$，而$\frac{k}{k+1} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \leq 0$，因此$P(X < 2\alpha) > \frac{k}{k+1}$成立。

情况2：$\alpha > 1$（即$k > 0$） #

我们通过分部积分和不等式放缩来推导：

1. 先对尾积分做分部积分：
   $$
   \alpha\int_{2\alpha}^\infty x^{\alpha-1}e{-x}dx = (2\alpha)^\alpha e^{-2\alpha} + \int_{2\alpha}^\infty x^\alpha e^{-x}dx
   $$
   这一步利用了$\int \alpha x^{\alpha-1}e{-x}dx = -x^\alpha e^{-x} + \int x^\alpha e^{-x}dx$，代入上下限得到结果。
2. 我们的目标是证明$\alpha\int_{2\alpha}^\infty x^{\alpha-1}e{-x}dx < \Gamma(\alpha)$，结合$\Gamma(\alpha) = \frac{1}{\alpha}\int_0^\infty x^\alpha e^{-x}dx$，可以转化为：
   $$
   (2\alpha)^\alpha e^{-2\alpha} + \int_{2\alpha}^\infty x^\alpha e^{-x}dx < \frac{1}{\alpha}\left(\int_0^{2\alpha}x\alpha e^{-x}dx + \int_{2\alpha}^\infty x^\alpha e^{-x}dx\right)
   $$
3. 整理后得到需要证明：
   $$
   \frac{\alpha-1}{\alpha}\int_{2\alpha}^\infty x^\alpha e^{-x}dx < \int_0^{2\alpha}x{\alpha-1}e^{-x}dx
   $$
4. 对左边的尾积分做放缩：当$x \geq 2\alpha$时，$x = 2\alpha + s$（$s \geq 0$），利用$(1+t)^\alpha \leq e^{\alpha t}$可得$x^\alpha = (2\alpha+s)^\alpha \leq (2\alpha)^\alpha e^{s/2}$，因此：
   $$
   \int_{2\alpha}^\infty x^\alpha e^{-x}dx \leq (2\alpha)^\alpha e^{{-2\alpha}\int_0}\infty e^{-s/2}ds = 2(2\alpha)^\alpha e^{-2\alpha}
   $$
5. 对右边的积分做下界估计：当$x \in [\alpha, 2\alpha]$时，$x^{\alpha-1}e{-x}$单调递减（导数为负），因此最小值在$x=2\alpha$处，可得：
   $$
   \int_0^{2\alpha}x{\alpha-1}e^{-x}dx \geq \int_\alpha^{2\alpha}x{\alpha-1}e^{-x}dx \geq \alpha \cdot \alpha^{\alpha-1}e{-\alpha} = \alpha^\alpha e^{-\alpha}
   $$
6. 最后验证不等式$2(2\alpha)^\alpha e^{-2\alpha} < \frac{\alpha}{\alpha-1}\alpha^\alpha e^{{-\alpha}$，化简后为$2}{\alpha+1}(\alpha-1) < \alpha e^{\alpha$，这个不等式对所有$\alpha>1$都成立（比如$\alpha=2$时左边8<右边14.78；$\alpha\to\infty$时右边$e}\alpha$增长远快于左边$2^\alpha$）。

综上，两种情况都满足$\int_{2(k+1)}^\infty x^k e^{-x}dx < \frac{k!}{k+1}$，代入你之前的推导：
$$
P(0<X<2(k+1)) = 1 - \frac{1}{k!}\int_{2(k+1)}^\infty x^k e^{-x}dx > 1 - \frac{1}{k+1} = \frac{k}{k+1}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Disciple