寻求使实矩阵M为negative semidefinite的参数a,b的最尖锐条件
设 (a,b \in \mathbb R)，考虑矩阵
$$M =\begin{bmatrix} a-1 & a \ a & b+a-1 \end{bmatrix}. $$
我想要推导出使矩阵(M)为负半定的关于(a,b)的最尖锐条件。我的方法是使用对角占优，得到了边界条件(a \leq 0.5)，(b\leq 1)和(2a + b \leq 1)。但这些只是充分条件，比如当(a=0.4)，(b=0.24)时，矩阵的特征值都是负的，但并不满足第三个不等式。有没有办法得到更尖锐的条件？
提前感谢！
要得到最精准的充要条件，我们可以直接用对称矩阵负半定的核心判定规则——对于2×2对称矩阵来说，负半定的充要条件是：
- 所有对角线元素都≤0；
- 矩阵的行列式≥0。
我们把这个规则直接套用到你的矩阵(M)上，一步步推导：
第一步：确定对角线元素的约束
矩阵(M)的两个对角线元素分别是：
- 左上角元素：(a - 1 \leq 0) → 化简得 (a \leq 1)；
- 右下角元素：(b + a - 1 \leq 0) → 化简得 (b \leq 1 - a)。
第二步：推导行列式的约束
矩阵(M)的行列式计算如下：
$$
\det(M) = (a-1)(b+a-1) - a^2
$$
展开并化简这个表达式：
$$
\begin{align*}
\det(M) &= (a-1)(a-1 + b) - a^2 \
&= (a-1)^2 + b(a-1) - a^2 \
&= a^2 - 2a + 1 + ab - b - a^2 \
&= -2a + 1 + ab - b \
&= b(a-1) + (1 - 2a)
\end{align*}
$$
负半定要求行列式≥0，因此我们得到不等式：
$$
b(a-1) + (1 - 2a) \geq 0
$$
接下来我们分情况讨论这个不等式（因为系数(a-1)的符号由第一步的(a \leq1)决定）：
情况1：(a < 1)
此时(a-1 < 0)，不等式两边除以负数需要反转不等号，得到：
$$
b \leq \frac{2a - 1}{a - 1}
$$
我们可以把这个式子再化简一下，看起来更直观：
$$
\frac{2a -1}{a-1} = 2 + \frac{1}{a-1}
$$
这里需要注意：当(a <1)时，(\frac{2a-1}{a-1} \leq 1 -a)（可以通过代数运算验证：两者的差值为(\frac{a^2}{a-1})，因(a<1)分母为负，分子非负，所以差值≤0）。这意味着只要(b)满足(b \leq \frac{2a-1}{a-1})，就自动满足第一步的(b \leq1 -a)，同时(a<1)也满足左上角元素≤0的约束。
情况2：(a = 1)
此时矩阵(M)变为(\begin{bmatrix}0&1\1&b\end{bmatrix})，左上角元素为0，右下角元素要求(b \leq0)，但此时行列式(\det(M)=0*b -1^2=-1 <0)，不满足行列式≥0的条件，因此当(a=1)时，不存在任何(b)使得(M)负半定。
第三步：整合最终的充要条件
把上面的结论整合起来，矩阵(M)负半定的充要条件是：
- (a < 1)，
- (b \leq \frac{2a - 1}{a - 1})（或等价形式(b \leq 2 + \frac{1}{a-1})）。
我们来验证你提到的例子：当(a=0.4)时，(\frac{2*0.4 -1}{0.4-1} = \frac{-0.2}{-0.6} ≈0.333)，你的(b=0.24 ≤0.333)，完全满足条件，所以矩阵负半定，这和实际情况一致。
对比你之前用对角占优得到的充分条件，这个充要条件覆盖了更多符合要求的((a,b))组合，是真正的“最尖锐”条件。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Trb2
