如何将分布与测试函数的卷积表示为张量积？

别担心，我来帮你理清这个联系。先从核心概念入手，一步步把卷积和张量积挂钩，最后解释提示里的“常函数1”到底怎么用。

先明确基础定义 #

你已经清楚这些前提：

• $D(\mathbb{R}^{n)$是紧支光滑测试函数空间，$D'(\mathbb{R}}n)$是它的对偶（分布空间）；
• $E(\mathbb{R}^n)$是所有光滑函数的空间，且$D \subseteq E$；
• 卷积$\star: D' \times D \to E$的定义是：
  $$(f \star \phi)(x) := \langle f_y, \phi(x-y) \rangle$$
  这里$\langle f_y, \psi(y) \rangle$表示分布$f$作用在测试函数$\psi$上的结果。

分布的张量积是什么？ #

对于两个分布$f \in D'(\mathbb{R}^n)$和$g \in D'(\mathbb{R}^n)$，它们的张量积$f \otimes g$是$\mathbb{R}^{{2n}$上的分布（即$D(\mathbb{R}}{2n})$的对偶），定义为：
$$\langle f \otimes g, \psi(x,y) \rangle = \langle f_x, \langle g_y, \psi(x,y) \rangle \rangle$$
简单来说，就是先让$g$作用在$\psi$的$y$变量上，得到一个关于$x$的测试函数，再让$f$作用在这个函数上。

卷积如何用张量积表示？ #

现在我们要把$(f \star \phi)(x)$和张量积联系起来。首先注意到$\phi(x-y)$可以看成二元函数$\theta(x,y) = \phi(x-y)$，它属于$E(\mathbb{R}^{2n})$（光滑但不一定紧支）。

提示里提到的常函数1，是指$\mathbb{R}^{n$上的恒常函数$1(t)=1$，它可以作为正则分布（属于$D'(\mathbb{R}}n)$），定义为：
$$\langle 1, \psi \rangle = \int_{\mathbb{R}^n} \psi(t) dt$$
对所有$\psi \in D(\mathbb{R}^n)$成立。

1. 卷积的积分与张量积的联系

如果你考虑卷积函数的积分，就能直接用张量积$1 \otimes f$表示：
$$\int_{\mathbb{R}^n} (f \star \phi)(x) \psi(x) dx = \langle 1 \otimes f, \psi(x) \phi(x-y) \rangle$$
这里$\psi(x)\phi(x-y)$是紧支光滑二元函数（因为$\psi$和$\phi$都是紧支的），完全符合张量积$1 \otimes f$的作用对象要求。常函数1在这里的作用，就是把“对$x$的积分”转化为张量积的配对操作。

2. 卷积在某点的值与张量积的联系

如果你想直接表示$(f \star \phi)(x)$在某点$x$的值，可以用$x$处的Dirac分布$\delta_x$辅助，结合张量积$\delta_x \otimes f$：
$$(f \star \phi)(x) = \langle \delta_x, f \star \phi \rangle = \langle \delta_x \otimes f, \phi(x-y) \rangle$$
这个式子的意思是：先让$f$作用在$\phi(x-\cdot)$上得到卷积在$x$处的值，再通过$\delta_x$的配对（即取点值），把这个过程用张量积的形式写出来。

总结一下 #

• 若要表示卷积函数的积分，用张量积$1 \otimes f$即可，这也是提示里“常函数1”的核心应用场景；
• 若要表示卷积在某点的具体值，用张量积$\delta_x \otimes f$就能直接对应；
• 本质上，卷积作为双线性映射，完全符合张量积的泛性质——存在唯一的线性映射$\tilde{\star}: D' \otimes D \to E$，使得$\tilde{\star}(f \otimes \phi) = f \star \phi$，而常函数1是构造这个线性映射的关键工具。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1056303