求解满足$A_n^m=A_n$的所有$n \times n$矩阵$A_n$

嘿，刚好我之前也琢磨过这个问题，咱们从你提到的小维度情况入手，一步步梳理到一般n阶矩阵的结论～

1. 1阶矩阵（n=1）的解 #

正如你所说，1阶矩阵就是单个数值，满足$x^m = x$的解很明确：

• 数值0，或者
• 所有m次单位根（也就是满足$x^{{m-1}=1$的复数，比如m=2时是1和-1，m=3时是1、$\omega$、$\omega}2$，其中$\omega=e^{2\pi i/3}$）

2. 2阶矩阵（n=2）的特殊例子 #

你提到当m=2k（偶数）时，下面这个矩阵满足$A_n^m=A_n$，甚至对所有m都成立：
$$ A_n=\left[
\begin{array}{cc}
\frac{1\pm \sqrt{1-4ab}}{2}& a\
b& \frac{1\mp \sqrt{1-4ab}}{2}
\end{array}
\right] $$
其中$a,b \in \mathbb{N}$。咱们可以拆解下：这个矩阵的迹为1，行列式为ab，特征值$\lambda_1,\lambda_2$满足$\lambda_1+\lambda_2=1$，$\lambda_1\lambda_2=ab$。如果它对所有m都满足$\lambda^{m=\lambda$，那特征值只能是0或者1（因为只有这两个数对任意m都满足$x}m=x$），此时要么ab=0（对应特征值0和1），要么矩阵是幂等矩阵（$A^{2=A$），自然对任意m都有$A}m=A$。

3. 一般n阶矩阵的完整刻画 #

对于任意n阶复数矩阵$A_n$，满足$A_n^m=A_n$的充要条件是：

• 矩阵可对角化（当m>1时），且
• 所有特征值都满足$\lambda^m = \lambda$，也就是特征值只能是0或者m次单位根（即满足$\lambda^{m-1}=1$的复数）

简单说下背后的逻辑：

1. 任何复数矩阵都可以相似于Jordan标准型$J = P^{{-1}AP$，那么$A}m=A$等价于$J^m=J$。
2. 对于k阶Jordan块$J_k(\lambda)$（k>1），$J_k(\lambda)^{m$的次对角线元素是$k\lambda}{m-1}$，而原Jordan块的次对角线元素是1。要让$J_k(\lambda)^{m=J_k(\lambda)$，必须满足$k\lambda}{m-1}=1$且$\lambda^{m=\lambda$，但当m>1时这两个条件无法同时满足（要么$\lambda=0$导致左边为0≠1，要么$\lambda}{m-1}=1$导致k=1），因此Jordan块只能是1阶的，也就是矩阵必须可对角化。
3. 对于1阶Jordan块（即特征值$\lambda$），必须满足$\lambda^{m=\lambda$，也就是$\lambda(\lambda}{m-1}-1)=0$，所以特征值只能是0或者m次单位根。

换句话说，所有满足条件的矩阵都可以写成：$A = PDP^{-1}$，其中P是任意可逆n阶矩阵，D是对角矩阵，且对角线上的元素都是0或者m次单位根。

比如当m=2时，特征值只能是0和1，对应的矩阵就是我们常说的幂等矩阵，所有满足$A^2=A$的n阶矩阵都是这类可对角化的矩阵。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie