求解不定积分∫(x + 1)/(x² + 6x + 14)³ dx 的方法咨询
你好！你提到用x + 3换元的思路完全正确，这就是解决这个积分的关键第一步，我来一步步帮你拆解整个过程：
步骤1：配方+换元简化积分
首先对分母的二次式进行配方：
$$x^2 + 6x + 14 = (x + 3)^2 + 5$$
令 $u = x + 3$，则 $x = u - 3$，$x + 1 = (u - 3) + 1 = u - 2$，$dx = du$。代入原积分后，式子变为：
$$\int \frac{u - 2}{(u^2 + 5)^3} du$$
我们可以把这个积分拆成两个独立的积分分别计算：
$$\int \frac{u}{(u^2 + 5)^3} du - 2\int \frac{1}{(u^2 + 5)^3} du$$
步骤2：计算第一个积分 $\int \frac{u}{(u^2 + 5)^3} du$
这个积分用凑微分法就能快速解决：
令 $v = u^2 + 5$，则 $dv = 2u\ du$，即 $u\ du = \frac{1}{2}dv$。代入后：
$$\int \frac{u}{(u^2 + 5)^3} du = \frac{1}{2}\int v^{-3} dv$$
根据幂函数积分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），计算得：
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{v^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4v^2} + C$$
把 $v = u^2 + 5$ 换回原变量（再换回 $x$），结果为：
$$-\frac{1}{4(x^2 + 6x + 14)^2} + C$$
步骤3：计算第二个积分 $\int \frac{1}{(u^2 + 5)^3} du$
这个积分用递推公式会比三角换元更简洁，对于形如 $\int \frac{1}{(u^2 + a2)n} du$ 的积分，递推公式为：
$$\int \frac{1}{(u^2 + a2)n} du = \frac{u}{2a2(n-1)(u2 + a2){n-1}} + \frac{2n-3}{2a^2(n-1)} \int \frac{1}{(u^2 + a2){n-1}} du$$
这里 $n=3$，$a^2=5$，代入公式：
$$\int \frac{1}{(u^2 + 5)^3} du = \frac{u}{2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot (u^2 + 5)^2} + \frac{2 \cdot 3 - 3}{2 \cdot 5 \cdot 2} \int \frac{1}{(u^2 + 5)^2} du$$
化简后：
$$= \frac{u}{20(u^2 + 5)^2} + \frac{3}{20} \int \frac{1}{(u^2 + 5)^2} du$$
接下来对 $\int \frac{1}{(u^2 + 5)^2} du$ 再次应用递推公式（$n=2$）：
$$\int \frac{1}{(u^2 + 5)^2} du = \frac{u}{2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot (u^2 + 5)} + \frac{2 \cdot 2 - 3}{2 \cdot 5 \cdot 1} \int \frac{1}{u^2 + 5} du$$
化简后：
$$= \frac{u}{10(u^2 + 5)} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{5}}\right) + C$$
把这个结果代回上式，整理后得到：
$$\int \frac{1}{(u^2 + 5)^3} du = \frac{u}{20(u^2 + 5)^2} + \frac{3u}{200(u^2 + 5)} + \frac{3}{200\sqrt{5}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{5}}\right) + C$$
最后把 $u = x + 3$、$u^2 + 5 = x^2 + 6x + 14$ 换回原变量即可。
步骤4：合并两个积分的结果
把步骤2和步骤3的结果代入拆分后的积分式，再整理所有项，就能得到原积分的最终简洁结果：
$$
-\frac{x + 5}{4(x^2 + 6x + 14)^2} - \frac{3(x+3)}{100(x^2 + 6x + 14)} - \frac{3}{100\sqrt{5}} \arctan\left(\frac{x+3}{\sqrt{5}}\right) + C
$$
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math124
