均匀分布概率游戏的最优策略求解
问题描述
有两名玩家Adam和Eve进行一场游戏，规则如下：
- 随机选定两个数值$n$和$d$
- Adam从区间$[0,n]$上的均匀分布中采样一个数值$v$
- Adam有两个选择：要么直接兑现获得$v$，要么支付给Eve$d$的费用后重新采样
问题1：Adam应该在$v$取到什么值时选择兑现？
用户的初始思考：
我原本认为$E[v]$始终是$n/2$，应该通过$d/E[v]$来判断能负担多少次重采样还能保持正期望，但我觉得这个思路忽略了方差、标准差等很多细节，该怎么正确求解呢？
问题2：如果Adam还需要先支付$x$的费用才能参与游戏，他的最优策略又是什么？
核心解法：阈值策略的期望等价性
其实这个问题的最优策略本质是设定一个阈值$v^*$：当采样得到的$v \geq v^$时就兑现，当$v < v*$时就支付$d$重采样。我们的目标就是找到这个$v$，让Adam的期望收益最大化。
基础版（无初始参与费$x$）
假设Adam的期望收益为$E$，当他采样到$v$时：
- 若$v \geq v^*$，直接兑现的收益就是$v$
- 若$v < v^*$，支付$d$后重采样，此时的期望收益变为$E - d$（支付了$d$成本，后续的期望收益还是$E$）
根据均匀分布的性质，$v \geq v^$的概率是$\frac{n - v^}{n}$，$v < v*$的概率是$\frac{v}{n}$。而$v \geq v*$时的条件期望是区间$[v,n]$的中点$\frac{v^* + n}{2}$，因此期望收益$E$可以写成：
$$
E = \left( \frac{n - v^}{n} \right) \cdot \frac{v^ + n}{2} + \left( \frac{v^*}{n} \right) \cdot (E - d)
$$
接下来整理方程求解$E$，再对$v^*$求导找极值：
- 展开并移项化简后可得：
$$
E = \frac{n + v^}{2} - \frac{d v^}{n - v^*}
$$ - 对$v^$求导并令导数为0，最终解得最优阈值：
$$
v^ = n - \sqrt{2 n d}
$$
这里有个前提：$\sqrt{2 n d} < n$，也就是$d < n/2$。如果$d \geq n/2$，重采样的成本太高（重采样后的期望收益$n/2 - d$已≤0），Adam的最优策略就是无论采样到什么$v$都直接兑现。
拓展版（含初始参与费$x$）
当需要先支付$x$才能参与游戏时：
- 首先判断基础版的最大期望收益$E_{max}$是否大于$x$：如果$E_{max} \leq x$，最优策略就是不参与游戏，因为参与后净期望收益为负。
- 如果$E_{max} > x$，那么采样阶段的阈值$v^*$和基础版完全一致（$x$是固定沉没成本，不影响后续采样决策），此时Adam的净期望收益为$E_{net} = E_{max} - x$。
对初始思路的补充
你提到的$d/E[v]$思路确实不够准确，因为它没有考虑到“只有当前采样值低于阈值时才会重采样”这个关键条件——不是无差别地重复采样，而是有选择性的，所以不能简单用总期望除以成本判断采样次数。而阈值策略的核心，就是让“兑现当前值的期望”和“重采样的期望”相等，这是最优决策的核心等价逻辑。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者jimsimons
