热力学极限下概率密度函数渐近等价性的推导合理性验证

嘿，咱们一步步把这个推导的逻辑理清楚哈！你在分析统计力学里某个系统的热力学极限时，碰到了这么个场景：有一列定义在实轴上的概率密度函数 $f_n$，先给几个辅助定义：
$$
\mu_n = \frac{2}{3}n, \qquad \sigma_n = \frac{2}{3\sqrt{3}}\sqrt{n}, \qquad g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x2/2}
$$
已知的核心条件是：对每个实数 $x$，当 $n\to\infty$ 时，有
$$
\lim_{n\to\infty} \sigma_n f_n(\sigma_n x + \mu_n) = g(x) \tag{1}
$$
现在要验证的是：对每个实数 $x$，当 $n\to\infty$ 时，$f_n(x)$ 和 $\frac{1}{\sigma_n}g\left(\frac{x-\mu_n}{\sigma_n}\right)$ 是渐近等价的，也就是
$$
f_n(x) \sim \frac{1}{\sigma_n}g\left(\frac{x-\mu_n}{\sigma_n}\right), \quad \text{当 $n\to\infty$}
$$

推导的核心逻辑 #

首先回忆下渐近等价的定义：两个依赖于 $n$ 的函数 $a_n(x)$ 和 $b_n(x)$ 满足 $a_n(x) \sim b_n(x)$，当且仅当 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n(x)}{b_n(x)} = 1$。那咱们就朝着这个定义来拆解：

1. 先写出要验证的极限式子：
   $$
   \lim_{n\to\infty} \frac{f_n(x)}{\frac{1}{\sigma_n}g\left(\frac{x-\mu_n}{\sigma_n}\right)} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sigma_n f_n(x)}{g\left(\frac{x-\mu_n}{\sigma_n}\right)}
   $$

2. 做个变量替换，把分子里的 $x$ 用已知条件里的形式改写：
   令 $t_n = \frac{x - \mu_n}{\sigma_n}$，反过来就能得到 $x = \sigma_n t_n + \mu_n$。把这个代入分子的 $f_n(x)$ 里，分子就变成了 $\sigma_n f_n(\sigma_n t_n + \mu_n)$。

3. 结合已知条件推导：
   根据条件(1)，对任意实数 $t$（不管是固定的还是随 $n$ 变化的 $t_n$），当 $n\to\infty$ 时，$\sigma_n f_n(\sigma_n t + \mu_n)$ 都会趋近于 $g(t)$。这里的 $t_n$ 就是对应固定 $x$ 的随 $n$ 变化的实数，所以自然有：
   $$
   \lim_{n\to\infty} \sigma_n f_n(\sigma_n t_n + \mu_n) = g(t_n)
   $$

4. 最后看比值的极限：
   把上面的结果代回我们要验证的极限式子里，就有：
   $$
   \lim_{n\to\infty} \frac{\sigma_n f_n(x)}{g\left(\frac{x-\mu_n}{\sigma_n}\right)} = \lim_{n\to\infty} \frac{g(t_n)}{g(t_n)} = 1
   $$
   这里要注意，$g(x)$ 是标准正态分布的概率密度函数，在实轴上处处不为0，所以分母不会出现0的情况，这个比值是有意义的。

这样就完全符合渐近等价的定义啦，所以咱们要证明的结论是成立的！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者joshphysics