正三棱柱中A'B'C'平面内点到AB、AC、BC三边距离平方和的最小值求解

云上老周

2026-4-16

问题描述

设ABCA'B'C'是正三棱柱，底面边长$AB = 2\sqrt{3}$ cm，侧棱$AA' = 1$ cm。M是平面A'B'C'内的一点，求M到直线AB、AC、BC的距离的平方和的最小值。

我的思路

辅助线构造

我先做了这样的辅助线：过M点作$MM' \perp$ 底面ABC，垂足为M'；接着从M'分别向AB、BC、AC作垂线，垂足依次是X、Y、Z，也就是$M'X \perp AB$、$M'Y \perp BC$、$M'Z \perp AC$。根据三垂线定理，就能推出$MX \perp AB$、$MY \perp BC$、$MZ \perp AC$，这三条MX、MY、MZ就是我们要求的M到三条边的距离啦。

平方和的拆分分析

用勾股定理拆解一下每个距离的平方：
$MX^2 = MM'^2 + M'X^2$，$MY2 = MM'^2 + M'Y^2$，$MZ2 = MM'^2 + M'Z^2$

把这三个式子加起来，就能得到：
$$MX^2 + MY^2 + MZ^2 = 3MM'^2 + (M'X^2 + M'Y^2 + M'Z^2)$$

因为M在平面A'B'C'内，而正三棱柱的侧棱是垂直于底面的，所以$MM'$的长度就是棱柱的高，也就是固定的1 cm，那$3MM'^2 = 3\times1^2 = 3$。这样一来，要让总平方和最小，就只需要让底面ABC内的点M'到三边距离的平方和$M'X^2 + M'Y^2 + M'Z^2$最小就行啦。

底面正三角形的最小值分析

对于正三角形来说，内部一点到三边距离的平方和，最小值出现在它的中心（重心、垂心、外心重合的点）。咱们先算一下这个中心到边的距离：底面正三角形边长是$2\sqrt{3}$，它的高是$\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3$ cm，中心到边的距离是高的$\frac{1}{3}$，也就是1 cm。那三个距离的平方和就是$3\times1^2 = 3$。