构造字符串的最短路径问题：矩阵按序遍历符号的最短步数求解

问题概述 #

给定一个N×M的符号矩阵，以及一个指定的符号序列，我们需要找到按顺序遍历序列中所有符号的最短路径步数。允许的移动方向为上下左右四个方向，同一个符号可以在矩阵中多次出现，因此常规的图遍历算法（比如单纯的BFS或Dijkstra）并不适用，而动态规划是更高效的解决方案。

举个实际例子：
矩阵为：

1 2 3
2 6 5
3 4 6

指定序列为 1→2→3→4→5→6→1，最终最短路径步数为8（路径：D、D、R、R、U、L、U、L）。

核心思路：动态规划 #

因为我们需要按顺序遍历序列，且每个符号可能对应多个位置，动态规划的核心是记录遍历到序列第i个符号时，在该符号所有可能位置上的最短步数，然后基于前一步的状态推导当前状态。

1. 预处理：映射符号到位置

首先遍历整个矩阵，建立一个哈希表，把每个符号映射到它在矩阵中所有出现的位置坐标列表。比如上面的例子中，符号2对应的位置是[(0,1), (1,0)]。

2. 状态定义

我们用两个字典来简化状态存储：

• prev_dp：存储遍历到序列第i-1个符号时，该符号所有对应位置的最短步数。键是位置坐标(x,y)，值是到达该位置的最短步数。
• curr_dp：存储遍历到序列第i个符号时，该符号所有对应位置的最短步数，基于prev_dp计算得到。

3. 初始化状态

对于序列的第一个符号，所有对应的位置的初始步数都是0（因为我们从这些位置开始，还没有移动）。

4. 状态转移过程

从序列的第二个符号开始，依次处理每个符号：

• 初始化curr_dp的所有值为无穷大（表示初始不可达）。
• 遍历上一个符号的所有位置(x_prev, y_prev)，以及当前符号的所有位置(x_curr, y_curr)：
  • 计算两个位置之间的曼哈顿距离（上下左右移动的最短步数就是曼哈顿距离）：d = |x_curr - x_prev| + |y_curr - y_prev|
  • 更新curr_dp[(x_curr, y_curr)]为当前值和prev_dp[(x_prev, y_prev)] + d中的较小值。
• 把prev_dp替换为curr_dp，进入下一个符号的处理。

5. 最终结果

处理完序列的最后一个符号后，prev_dp中所有值的最小值就是我们要找的最短路径步数。

示例验证 #

用开头的例子走一遍流程：

1. 序列：1→2→3→4→5→6→1

2. 预处理符号位置：

   • 1: [(0,0)]
   • 2: [(0,1), (1,0)]
   • 3: [(0,2), (2,0)]
   • 4: [(2,1)]
   • 5: [(1,2)]
   • 6: [(1,1), (2,2)]

3. 初始化：prev_dp = {(0,0): 0}

4. 处理第二个符号2：

   • 计算从(0,0)到(0,1)的距离是1 → curr_dp[(0,1)] = 1
   • 计算从(0,0)到(1,0)的距离是1 → curr_dp[(1,0)] = 1
   • prev_dp更新为{(0,1):1, (1,0):1}

5. 处理第三个符号3：

   • 对(0,2)：从(0,1)来是1+1=2，从(1,0)来是1+3=4 → 取2
   • 对(2,0)：从(0,1)来是1+3=4，从(1,0)来是1+1=2 → 取2
   • prev_dp更新为{(0,2):2, (2,0):2}

6. 处理第四个符号4：

   • 位置(2,1)：从(0,2)来是2+3=5，从(2,0)来是2+1=3 → 取3
   • prev_dp更新为{(2,1):3}

7. 处理第五个符号5：

   • 位置(1,2)：从(2,1)来是3+2=5 → prev_dp更新为{(1,2):5}

8. 处理第六个符号6：

   • 位置(1,1)：从(1,2)来是5+1=6
   • 位置(2,2)：从(1,2)来是5+2=7
   • prev_dp更新为{(1,1):6, (2,2):7}

9. 处理第七个符号1：

   • 位置(0,0)：从(1,1)来是6+2=8，从(2,2)来是7+4=11 → 取8
   • 最终最小值就是8，和示例输出一致。

优化点 #

• 空间优化：不需要保存整个序列的所有状态，只需要保存前一步的状态即可，这样空间复杂度从O(kNM)降到O(N*M)（k是序列长度）。
• 提前终止：如果某一步的curr_dp全是无穷大，说明没有可行路径，可以直接返回-1（或提示无解）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pal Jereh