验证推导可逆矩阵相关行列式极限等式的方法是否正确

你这个思路其实完全正确！咱们来一步步把逻辑捋清楚，确认你的想法没问题：

首先回忆行列式的定义：它是矩阵所有不同行不同列元素乘积的带符号和。当矩阵写成 $A(t) + h\frac{dA}{dt}(t) + hP(h)$ 时，每个元素可表示为 $A_{ij}(t) + h\left(\frac{dA}{dt}\right){ij}(t) + hP{ij}(h)$，其中 $\lim_{h\to0}P(h)=0$（即每个 $P_{ij}(h)$ 都满足该极限）。

把这个矩阵的行列式展开后，所有项可以分成三类：

• 第一类：完全不含 $h$ 相关项的乘积，也就是 $\prod A_{ij}(t)$，这部分对应 $\det(A(t))$，在分子里会被减掉，所以极限中这部分直接消失。
• 第二类：恰好只含一个 $h\left(\frac{dA}{dt}\right){ij}(t)$ 项、其余都是 $A{kl}(t)$ 的乘积，这部分的总和就是 $\det\left(A(t)+h\frac{dA}{dt}(t)\right) - \det(A(t))$ 里线性于 $h$ 的项，除以 $h$ 后就是我们要保留的核心部分。
• 第三类：要么含有至少一个 $hP_{ij}(h)$ 项，要么含有多个 $h\left(\frac{dA}{dt}\right)_{kl}(t)$ 项。咱们重点看含 $hP(h)$ 的项：

对于任何一个含有至少一个 $hP_{ij}(h)$ 的乘积项，假设它里面有 $n\geq1$ 个 $hP_{}(h)$ 因子，还有 $k\geq0$ 个 $h\left(\frac{dA}{dt}\right)_{}(t)$ 因子，那么这个项整体的阶数是 $h^{n+k}$，再乘以某个只和 $t$ 有关的函数 $F(t)$（来自其他 $A_{kl}(t)$ 的乘积）。把这个项放到分子里（减去 $\det(A(t))$ 不影响它，因为它是含 $h$ 的项），再除以 $h$，就得到：
$$\frac{h^{n+k}F(t)Pn(h)}{h} = h^{n+k-1}F(t)Pn(h)$$

当 $h\to0$ 时，因为 $n\geq1$，所以 $n+k-1 \geq 0$（$k=0$ 时是 $n-1\geq0$，$k\geq1$ 时阶数更高），再加上 $\lim_{h\to0}P(h)=0$，$P^n(h)$ 会趋于0，整个项的极限就是0。

而那些含有多个 $h\left(\frac{dA}{dt}\right)$ 项的部分，除以 $h$ 后得到 $h^{m-1}G(t)$（$m\geq2$），当 $h\to0$ 时这部分也会趋于0，同样不会影响极限。

这么看来，分子里所有来自 $hP(h)$ 的项和高阶 $h$ 的项，在除以 $h$ 后的极限都是0，所以原来的极限就等于只保留 $A(t)+h\frac{dA}{dt}(t)$ 时的极限，你的分析完全戳中了关键点！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者excitedGoose