关于二重积分$\iint_D (x^4-y^4) dx\,dy$的计算疑问求助

我在计算下面这个二重积分时碰到了难题：
$$
\iint_D (x^4-y4) dx,dy
$$
积分区域$D$的约束条件是：$1<x^2-y2<4, \sqrt{17}<x^2+y2<5, x<0, y>0$

我尝试用变量替换$u=x^2+y2, v=x^2-y2$来简化计算，转化后得到了这样一个累次积分：
$$
\int_1^4 \int_{\sqrt{17}}^5 \frac{uv}{4\sqrt{u^2-v2}} dudv = \frac{1}{4}\int_1^4 \bigg[ v\sqrt{u^2-v2} \bigg]_{\sqrt{17}}^5 dv = ?
$$
这里我用到了一个导数结论来验证内层积分的原函数：
$$\frac{\partial}{\partial u} v\sqrt{u^2-v2} = \frac{uv}{\sqrt{u^2-v2}}
$$
但现在我卡在了这一步，不知道接下来该怎么继续计算，是不是我哪里考虑漏了？有没有大佬能给点思路或者建议？谢谢！

Sincerely, TS

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TerribleStudent