关于两个形式相似的复积分符号差异的疑问

嘿，我最近在计算复积分时遇到了一个困惑，想和大家探讨下：

我原本以为下面这两个积分应该是等价的，毕竟第二个看起来就是第一个分母的因式分解形式嘛：
$$\int_0^\infty \frac{dz}{1-z^2 +i0^+},$$
和
$$\int_0^\infty \frac{dz}{(1-z+i0^+)(1+z+i0+)}. $$

但用Mathematica计算后，结果却完全出乎我的意料——第一个积分的结果是$i\pi/2$，第二个却是$-i\pi/2$，两者居然差了一个负号！我自己手动推导第二个积分，得到的结果和Mathematica一致，但不知道该怎么验证第一个积分的结果，毕竟我本来是想通过第二个积分来计算第一个的。

我使用的Mathematica代码是这两行：

Integrate[1/(1 - x^2 + I*\[Epsilon]), {x, 0, Infinity}] /. {\[Epsilon] -> 0}
Integrate[1/((1 + x + I*\[Epsilon])*(1 - x + I*\[Epsilon])), {x, 0, Infinity}] /. {\[Epsilon] -> 0}

备注：内容来源于stack exchange，提问作者VerwirrterStudent