带位移幂法收敛至主导特征向量的条件问询

咱先铺垫下已知的背景哈：有一个n阶实对称矩阵 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$，它的特征值满足 $|\lambda_{1}|>|\lambda_{2}|\ge\ldots \ge|\lambda_{n-1}|>|\lambda_{n}|$，对应的欧几里得单位范数特征向量是 $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$。

a) 带位移幂法的迭代过程回顾 #

给定初始向量 $v_{0}\in\mathbb{R}^{n}$，我们对位移矩阵 $A-\mu I$（其中$\mu \in \mathbb{R}$是实位移量）应用幂法，生成迭代向量序列 $v_{1},v_{2},\ldots, v_{k},\ldots$。常规的迭代步骤是这样的：

• 第k次迭代先计算 $w_k = (A - \mu I) v_{k-1}$
• 对 $w_k$ 做欧几里得范数归一化，得到 $v_k = w_k / |w_k|$

b) 迭代序列收敛至 $\pm x_1$ 的条件 #

要让 $v_k$ 当 $k\to\infty$ 时收敛到 $\pm x_1$，咱得给初始向量 $v_0$ 和位移量 $\mu$ 加上这两类条件：

对初始向量 $v_0$ 的要求 #

• 初始向量 $v_0$ 在主导特征向量 $x_1$ 方向上的投影不能为0，也就是 $v_0^T x_1 \neq 0$。为啥呢？如果这个分量是0，那后续所有迭代向量都不会有 $x_1$ 方向的分量，根本不可能收敛到它的方向上。

对位移量 $\mu$ 的要求 #

核心是要让 $\lambda_1 - \mu$ 成为位移矩阵 $A-\mu I$ 的模长最大的特征值，同时其他特征值对应的位移后模长都严格小于它：

• 必须满足 $|\lambda_1 - \mu| > |\lambda_i - \mu|$ 对所有 $i=2,3,\ldots,n$ 都成立。毕竟幂法的收敛本质就是每次迭代放大主导特征值对应的分量，所以得让位移后的 $\lambda_1$ 分量成为绝对主导的那个。
• 另外，$\mu$ 不能等于任何一个特征值 $\lambda_i$，不然位移矩阵 $A-\mu I$ 会奇异，迭代时可能出现零向量，没法完成归一化步骤，直接卡壳。

额外唠两句 #

当这两个条件都满足时，带位移幂法就会和普通幂法一样，每迭代一次，$x_1$ 方向的分量就会被相对放大，其他方向的分量会被不断压缩，最终迭代向量就会收敛到 $\pm x_1$（正负号取决于初始向量在 $x_1$ 方向的分量符号，以及每次归一化的方向）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者maths and chess