证明[0,1]上对角线集合等于区间平方并集的交集的方法咨询

嘿，我来帮你搞定这个反向包含的证明！你已经搞定了$\Delta \subset \cap\Delta_n$，这部分完全没问题——毕竟每个$\Delta_n$里的每个小正方形$[{k \over n}, {k+1 \over n}]^2$都包含这个区间内所有的对角线元素$(x,x)$，所以整个$\Delta$自然在每个$\Delta_n$里，交集肯定也包含它。

那反向的$\cap\Delta_n \subset \Delta$，我们用反证法来推导会特别直观：

• 先任取一个元素$(a,b) \in \cap\Delta_n$，这意味着这个点要属于每一个$\Delta_n$，没有例外。
• 假设$a \neq b$，那它们的差的绝对值肯定是个正数，记$|a - b| = d > 0$。
• 根据实数的阿基米德性质，总能找到一个足够大的正整数$N$，让$\frac{1}{N} < d$——简单说就是把$n$取大到让每个小区间的长度，小于$a$和$b$之间的距离。
• 现在看$\Delta_N$：它是把$[0,1]$拆成$N$个长度为$\frac{1}{N}$的小区间，每个区间对应一个正方形$[{k \over N}, {k+1 \over N}]^2$，所有这些正方形的并就是$\Delta_N$。如果$|a - b| > \frac{1}{N}$，那$a$和$b$绝对不可能落在同一个长度为$\frac{1}{N}$的子区间里：比如假设$a$在$[{k \over N}, {k+1 \over N}]$，那$b$要么小于$\frac{k}{N}$，要么大于$\frac{k+1}{N}$，不然$|a - b|$最多就是$\frac{1}{N}$，和我们选的$N$矛盾。
• 这就意味着$(a,b)$不在$\Delta_N$的任何一个小正方形里，也就是$(a,b) \notin \Delta_N$，但这和最开始“$(a,b)$属于所有$\Delta_n$”的前提矛盾。

既然“$a \neq b$”的假设会导出矛盾，那只能是$a = b$，也就是$(a,b) \in \Delta$。这样反向包含就证完了，结合你已经搞定的正向包含，就有$\Delta = \cap\Delta_n$啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dsrksidemath