关于有限秩算子是否为紧算子空间闭子空间的疑问

嘿，我来聊聊我目前遇到的这个问题和我的思考：

首先抛出核心问题：

Let K(X,Y) be the set of compact operators from X to Y. Let F(X,Y) be the set of finite rank operators from X to Y. Is F closed sub space of K?

我已经证明了每个有限秩算子都是紧算子，但现在拿不准F是不是K的闭子空间。

我本来想找个例子来验证，选了$X=Y=\ell_2$，定义算子$A_n(x) = (x_1 ,x_2 ,...,x_n ,0 ,0....)$，显然$rank A_n =n$。我一开始觉得$A_n$的极限是恒等算子$I$，但问题是恒等算子$I$并不是紧算子，所以这个例子其实没法用来判断F在K里是否闭，等于白搭了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Its me