关于互质自然数a,b满足a^m + b^m被a^n + b^n整除时m必被n整除的证明求助

最近我在啃一道数论题，卡壳好半天了，想求助大家帮忙看看：

设$a, b, m, n$为自然数，$a > 1$，且$a$与$b$互质（即$\gcd(a,b)=1$）。需要证明：若$a^m + b^m$能被$an + b^n$整除，则$m$必定能被$n$整除。

我自己试过用长除法和模运算来推导，但怎么都推不下去。课本里的提示只有一句“执行长除法”，我按提示试了还是没头绪。后来看到有评论提到类似的问题，但还是没找到能帮我突破的思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AshishMath