关于偏序集保序函数的两个结论验证请求

大家好，最近在做 Herbert Enderton 所著《Elements of Set Theory》里的习题，碰到了一个关于偏序集保序函数的问题，想和大家一起探讨验证：

假设 $<_A$ 和 $<_B$ 分别是集合 $A$ 和 $B$ 上的偏序关系（此处偏序定义为满足传递性和非自反性的关系），函数 $f: A \to B$ 满足：
对任意 $x,y \in A$，若 $x <_A y$，则 $f(x) <_B f(y)$。

我们能否得出以下两个结论：

1. $f$ 是单射（一对一）？
2. 对任意 $x,y \in A$，$x <_A y \iff f(x) <_B f(y)$？

我的尝试与分析 #

结论1：不能断定$f$是单射

假设$f$不是单射，即存在不同的元素$x,y \in A$，使得$f(x)=f(y)$。根据偏序的非自反性，$x \nless_A x$，但$x$和$y$在$<_A$中的关系可能有三种情况：

• 若$x <_A y$或$y <_A x$，根据保序条件会推出$f(x) <_B f(y)$或$f(y) <_B f(x)$，这与$f(x)=f(y)$矛盾（偏序非自反，$f(x) \nless_B f(x)$）；
• 但如果$x$和$y$在$<_A$中不可比（即既没有$x <_A y$也没有$y <_A x$），此时$f(x)=f(y)$是完全可行的。

举个具体例子：

• 令$A={1,2}$，$<_A$为空关系（空关系满足传递性和非自反性，是合法偏序）；
• $B={a}$，$<_B$为空关系；
• 定义$f(1)=f(2)=a$。

显然满足题目的保序条件（因为$<_A$中没有任何元素对满足$x <_A y$，蕴含式恒成立），但$f$明显不是单射。因此第一个结论不成立。

结论2：不能断定双向蕴含成立

同样可以用反例说明：

• 令$A={1,2}$，$<_A$为空偏序；
• $B={a,b}$，$<_B$为$a < b$；
• 定义$f(1)=a$，$f(2)=b$。

此时$f(1) <_B f(2)$成立，但$1$和$2$在$<_A$中并没有$1 <_A 2$的关系，也就是说双向蕴含的右边成立但左边不成立，因此双向蕴含不成立。

再补充一个更贴合常见偏序的例子：

• 令$A={1,2,3}$，$<_A$仅包含$1<3$（$2$与$1$、$3$均不可比）；
• $B={a,b,c}$，$<_B$为$a < b < c$；
• 定义$f(1)=a$，$f(2)=b$，$f(3)=c$。

这里$f(1) <_B f(2)$成立，但$1$和$2$在$<_A$中并无偏序关系，直接说明双向蕴含不成立。

综上，两个结论都不能成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CroW