对偶向量空间中σ(E,H)与σ(E,F)闭凸集类一致时H的性质探究

这其实是某个经典问题的小改动——我只是把原问题里的一些修饰词去掉了而已。

咱们都知道这么个结论：如果一个向量空间上的两个局部凸拓扑，能确定出完全相同的连续线性泛函集合，那它们对应的闭凸集类也是完全一样的。

我现在好奇这个结论的逆命题是否成立。

具体来说，我关注的是这样一个情况：设$E$和$F$是一对对偶向量空间，$H \subset F$是$F$的子集，而且$\sigma(E,H)$拓扑下的闭凸集类，和$\sigma(E,F)$拓扑下的闭凸集类完全相同。

关于$H$，我们能得出什么结论呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jon Bannon