基于简并微扰论求解非线性方程稳态解的技术咨询

嘿，我来帮你理清楚用微扰论求解这个非线性方程稳态解的细节，尤其是处理简并解的核心部分～

我们的目标是用微扰论找到下面这个非线性方程的稳态解：
$$
x_i\left(\sum_{j=1}^Nx_j2\right)-a x_i + \epsilon \sum_{j\neq i}^N J_{ij}x_j=0,
$$
其中 $i=1,\cdots,N$，$\epsilon$ 是一个小参数。首先我们对解做微扰展开：
$$
x_i = x_i^{(0)} + \epsilon x_i^{(1)} + \mathcal{O}(\epsilon^2)
$$

零阶解（$\boldsymbol{\epsilon=0}$ 时） #

当 $\epsilon=0$ 时，原方程简化，整理后得到零阶解必须满足：
$$
\sum_{i}\left[x_{i}^{{\left(0\right)}\right]}{2} = a,
$$
这里要重点注意：这个条件对应的是简并的解空间——所有满足该归一化条件的向量 $\boldsymbol{x}^{(0)}$ 都是零阶解，相当于N维空间中半径为 $\sqrt{a}$ 的球面，这也是后续必须用简并微扰论处理的关键原因。

一阶微扰修正 #

把展开式代入原方程，只保留到 $\epsilon$ 的一阶项，整理后得到一阶修正的方程：
$$
2 (x_i^{(0)})2 x_i^{(1)} + 2x_i^{(0)}\sum_{j\neq i}x_j^{(0)}x_j{(1)} + \sum_{j\neq i}J_{ij}x^{(0)}_j=0 ,
$$

接下来我们一步步处理这个一阶方程：

• 首先，假设 $x_i^{(0)} \neq 0$（如果有分量为0的情况后面单独讨论），我们可以把方程两边除以 $x_i^{(0)}$，注意到左边前两项其实是 $2\boldsymbol{x}^{(0)} \cdot \boldsymbol{x}^{(1)}$（向量点积），我们令这个点积为常数 $C = \boldsymbol{x}^{(0)} \cdot \boldsymbol{x}^{(1)}$，这样方程可以简化为：
  $$
  2 C x_i^{(0)} + \sum_{j\neq i}J_{ij}x^{(0)}_j = 0
  $$
• 然后利用零阶解的归一化条件确定 $C$：把上面的方程两边乘以 $x_i^{(0)}$ 再对所有 $i$ 求和，代入 $\sum_i (x_i^{(0)})2 = a$，可以解出：
  $$
  C = -\frac{1}{2a} \sum_{i\neq j} J_{ij} x_i^{(0)} x_j^{(0)}
  $$
• 最后把 $C$ 代回简化后的一阶方程，就能得到 $x_i^{(1)}$ 的表达式：
  $$
  x_i^{(1)} = -\frac{1}{2a x_i^{(0)}} \left( \sum_{j\neq i} J_{ij} x_j^{(0)} + \frac{x_i^{(0)}}{a} \sum_{k\neq l} J_{kl} x_k^{(0)} x_l^{(0)} \right)
  $$

如果零阶解中存在分量 $x_k^{(0)}=0$，那对应的一阶方程会变成 $\sum_{j\neq k} J_{kj} x_j^{(0)} = 0$——这意味着这种零阶解只有当 $J$ 矩阵的第 $k$ 行与零阶向量的点积为0时，才存在对应的一阶修正解，否则这类零阶解在微扰下是不稳定的，不属于物理上的稳态解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sean