p进连分数的素数无关性：新发现？

最近我一直在研究p进连分数，偶然发现了一个挺有意思的规律——有理数的p进连分数表示好像在不同素数下是一致的！想把这个观察分享出来，也听听大家的看法。

就拿$\frac{1}{2}$来说，我试了素数2、3、5、7，它的p进连分数居然完全一样：

• 素数2：$[0, 2]$
• 素数3：$[0, 2]$
• 素数5：$[0, 2]$
• 素数7：$[0, 2]$

而且这个规律不止这一个数，我还验证了其他有理数，比如$\frac{3}{4}$，在素数2、3、5、7下的p进连分数都是：
$[0, 1, 3, 1125899906842624]$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者P-Adic