求解带$y(0)=y(\pi)=0$边界条件的Sturm-Liouville问题的求助

我现在卡在这个Sturm-Liouville问题上了，想请大家给点提示：

要解的方程是：
$$\frac{d}{dx}\Big(e^{{2x}\frac{dy}{dx}\Big)+e}{2x}(1+\lambda)y=0$$
对应的边界条件是 $y(0)=y(\pi)=0$。

我翻了好多关于SL问题的资料，发现大多只讲$y''+\lambda y=0$这种简单的例子，讲得都很浅显，根本没法帮我解决这个问题。

我试过把原方程展开化简，得到了：
$$y''+2y'+(1+\lambda)y=0$$
但解出来只有平凡解，这显然不符合预期。

我也尝试用标准的SL算子 $L[y]=\frac{d}{dx}\Big(p(x)\frac{dy}{dx}\Big)-q(x)y$ 来处理这个方程，最后得到了 $L[y]=-\lambda e^{2x}y$，但到这一步就不知道该怎么往下推进了。

我知道这个问题的特征值应该是 $\lambda_n=n^{2$（$n\in\mathbb{Z}}+$），特征函数是 $\phi_n(x)=c_ne^{-x}\sin(nx)$，但就是不知道怎么推导出来，求各位大佬给点思路！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者injo