关于二分法收敛速度与收敛阶严格证明的问询
嘿，这个问题问到点子上了——很多数值分析教材里对二分法收敛阶的描述确实容易让人困惑：到底是严格的数学结论，还是只是启发式的形式化说法？咱们一步步拆解清楚：
首先先回顾已知的严格结论：
二分法的误差界是绝对成立的：
$$|x_n - x| \leq \frac{1}{2^{n+1}} |a_0 - b_0|$$
教材里通常将其解读为二分法是一阶收敛，收敛速度为$\frac{1}{2}$。
你的核心疑问是：能不能严格证明误差序列满足
$$\overline{\lim\limits}{n \rightarrow \infty}\frac{|x{n+1} - x|}{|x_n - x|} = \frac{1}{2}?$$
还是说这个只是模糊的表述？
分情况讨论
首先排除简单场景：如果根$x$是dyadic数（即可以表示为$\frac{k}{2^m}$，$k,m$为整数），二分法会在有限步内精确找到根，后续误差全为0，这个极限也就没有意义了。所以咱们重点分析非dyadic根的情况。
结论先行
这个上极限等于$\frac{1}{2}$不是对所有非dyadic根都成立，但我们可以得到几个严格结论：
- 存在某些非dyadic根，这个上极限确实严格等于$\frac{1}{2}$；
- 对所有非dyadic根，这个上极限的范围是$\frac{1}{2} \leq \overline{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}\frac{|x_{n+1} - x|}{|x_n - x|} \leq 1$；
- 教材里说的“一阶收敛、收敛速度$\frac{1}{2}$”，其实是从R-收敛阶的角度出发的严格结论，而非你提到的Q-收敛上极限。
详细解释
1. 存在根使得上极限等于$\frac{1}{2}$
比如取$x=\frac{1}{3}$（二进制展开为$0.(01)_2$，无限循环，属于非dyadic数），手动算几步二分法迭代就能看出来：
- 初始区间$[0,1]$，$x_1=0.5$，$x<x_1$，新区间$[0,0.5]$，$x_2=0.25$；
- $|x_2 - x|=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，$|x_1 -x|=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，比值为$\frac{1}{2}$；
- 下一步$x>x_2$，新区间$[0.25,0.5]$，$x_3=0.375$；
- $|x_3 -x|=\frac{3}{8}-\frac{1}{3}=\frac{1}{24}$，$|x_2 -x|=\frac{1}{12}$，比值还是$\frac{1}{2}$；
以此类推，每一步的比值都固定为$\frac{1}{2}$，所以上极限自然等于$\frac{1}{2}$，这是严格成立的。
2. 存在根使得上极限大于$\frac{1}{2}$（甚至趋近于1）
比如取$x=\sqrt{2}-1\approx0.4142$（无理数，非dyadic），迭代到某几步会出现比值接近1的情况：
- 第5步$x_5=0.40625$，$|x_5 -x|\approx0.4142-0.40625=0.00795$；
- 第6步$x_6=0.421875$，$|x_6 -x|\approx0.421875-0.4142=0.007675$；
- 此时比值$\frac{|x_6 -x|}{|x_5 -x|}\approx\frac{0.007675}{0.00795}\approx0.965$，非常接近1。
如果构造一个二进制展开中包含无穷多“长串连续相同位”的非dyadic数，甚至可以让这个上极限严格等于1。这说明你问题里的等式不是对所有非dyadic根都成立的。
3. 教材里的说法为什么是严格的？
教材里提到的“一阶收敛、收敛速度$\frac{1}{2}$”，是基于R-收敛阶的定义：若存在常数$C>0$和$r\in(0,1)$，使得$|x_n -x|\leq C r^n$对所有$n$成立，则称方法是R-阶收敛，收敛因子为$r$。
对于二分法，我们有严格的误差界$|x_n -x|\leq\frac{|a_0 -b_0|}{2^{n+1}}$，完全符合R-收敛的定义，阶数为1，收敛因子为$\frac{1}{2}$——这个结论是绝对严格的。
而你问的是Q-收敛阶的上极限，这是另一种收敛速度的定义，它描述的是相邻误差的比值的极限行为，二分法并不满足对所有根都有Q-收敛速度$\frac{1}{2}$，所以教材里的说法其实是用R-收敛的结论做了启发式的简化表述。
总结
- 当根为dyadic数时，二分法有限步收敛，无需讨论极限；
- 当根为非dyadic数时，$\overline{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}\frac{|x_{n+1} - x|}{|x_n - x|} = \frac{1}{2}$不是普遍成立的，但存在特殊根满足这个等式；
- 教材里的“一阶收敛、收敛速度$\frac{1}{2}$”是基于R-收敛阶的严格结论，而非Q-收敛的上极限。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Veronica
