四面体去掉内部及三个面的内部后的同伦等价空间求解

首先明确问题：

考虑一个四面体$T$，移除它的内部以及其中三个面的内部，剩下的空间同伦等价于什么？

你的思路其实已经很接近正确答案了，我们来一步步理清：

首先先明确剩下的空间结构：
移除四面体内部和三个面的内部后，剩下的部分包含：

• 完整的第四个面（记为$F$，是一个实心三角形，也就是拓扑学里的闭圆盘），
• 连接四面体中不属于$F$的那个顶点（记为$v$）到$F$三个顶点的三条棱，
• 以及$F$自身的边界（不过这部分已经包含在实心三角形$F$里了）。

接下来看你的尝试：
你提到把顶部顶点$v$“压”到$F$上，得到带内部点和三条连线的三角形，这个转化是没问题的。而你后面想到把三角形收缩成一个点的思路完全正确，我们可以把这个过程拆解得更清晰：

1. 因为实心三角形$F$是可缩空间（可以连续收缩到它内部的任意一个点，比如重心$p$），所以我们可以把整个$F$收缩到点$p$。
2. 收缩之后，原来连接$v$到$F$三个顶点的三条棱，就变成了三条从$v$到$p$的线段。
3. 接下来，我们可以把点$p$沿着其中一条线段连续移动到$v$，这三条线段就会变成三个以$v$为公共顶点的环路——也就是三个圆在一个点处粘合的空间，拓扑学里叫做三个圆的楔和（记为$\bigvee_{3} S^1$）。

从基本群的角度也能验证：这个剩余空间的基本群是有三个生成元的自由群，而三个圆的楔和的基本群恰好也是有三个生成元的自由群，结合两者都是道路连通的CW复形，根据Whitehead定理，它们确实是同伦等价的。

所以最终结论是：这个空间同伦等价于三个圆的楔和（三个圆在一个公共点处粘合的空间）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zurct