关于Coxeter复形的单纯复形结构赋予及商概念的技术问询

这是个戳中Coxeter理论里「拓扑-组合断层」的好问题，我一步步给你理清楚：

先拆解核心矛盾：拓扑商 vs 单纯复形的组合本质 #

你观察得特别准——维基百科里那个「Tits锥去0后取正实数商」的定义，是纯拓扑层面的描述，只给出了商空间的拓扑同胚类，但单纯复形需要的是带组合/代数标签的结构，光靠拓扑同胚根本区分不开你说的二面体群例子：两个不同的2n-边形拓扑上都是圆，但作为单纯复形，它们的顶点数、边的连接逻辑这些组合信息才是核心差异，这就是拓扑商没捕捉到的关键。

怎么给这个拓扑商赋予单纯复形结构？ #

核心是不能只做「裸拓扑商」，得把Coxeter群的反射子群、根系组合信息嵌进去，具体逻辑是：

• 首先，Coxeter群的反射超平面会把Tits锥切割成有限个「房（chamber）」，每个房是群作用的基本域，对应Coxeter群的一个元素。
• 取正实数商时，每个房会对应单纯复形里的极大单形；而反射超平面的交集（对应反射子群的不动点集）在商空间里会变成低维单形（比如顶点、边）。
• 最关键的一步：我们不是把所有拓扑等价的点随便粘成一个，而是按点所在的反射子群不动点集的类型来分类轨道——每个轨道的「类型」由它对应的反射子群共轭类（或根系子集类型）决定，不同类型的轨道对应单纯复形里不同维度、不同标签的单形。

这里的商和普通群作用商的区别？ #

普通拓扑商是把群作用下的所有轨道直接粘合并，只保留拓扑信息；但我们这里做的是带组合标签的商，也可以叫「代数商」：

• 拿二面体群Dₙ举例：Tits锥是二维的，被n条反射线分成2n个房；取正实数商后，每个房变成一条边，每条反射线的商变成一个顶点——这样就得到了有2n个顶点、2n条边的单纯复形（也就是2n-边形），而不是一个没结构的圆（裸拓扑商）。
• 换句话说，这个商过程不仅做了拓扑粘合，还保留了每个轨道的代数「身份」——我们把Tits锥里的点和它对应的反射子群不动点集的组合类型绑定在一起，这样商空间里的每个元素就不是单纯的拓扑点，而是带组合标签的「单形元」，自然就构成了单纯复形的结构。

为什么维基百科的定义看起来像是集合相等？ #

那是因为维基百科的定义先给出了最简洁的拓扑描述，省略了组合结构的赋值细节——实际上，要得到能区分不同Coxeter群的单纯复形，你必须把这个拓扑空间和Coxeter群的Weyl群组合数据结合起来，给每个拓扑轨道赋予对应的组合标签，这样才能区分比如不同二面体群对应的2n-边形。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Qsdd