求证凸泛函的绝对值仍是凸泛函
嘿，我来帮你把这个证明补全！你已经搞定了正齐次性的部分，那咱们把三角不等式的缺口补上就行～
首先先明确题目里的“凸泛函”定义：它是定义在向量空间$X$上的函数$p:X\to\mathbb{R}$，满足两个条件：
- 次可加性：对任意$x,y\in X$，有$p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$
- 正齐次性：对任意$\lambda>0$，有$p(\lambda x)=\lambda p(x)$
第一步：正齐次性（你已经验证过的部分）
对于任意$\lambda>0$和$x\in X$，显然有：
$$|p(\lambda x)|=|\lambda p(x)|=\lambda |p(x)|$$
这部分完全没问题，符合凸泛函的第二个条件。
第二步：次可加性（需要补全的关键部分）
我们要证明：对任意$x,y\in X$，有$|p(x+y)|\leqslant |p(x)|+|p(y)|$。
这里分两种情况讨论：
当$p(x+y)\geqslant0$时：
直接用$p$的次可加性，$p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$，而$p(x)\leqslant|p(x)|$，$p(y)\leqslant|p(y)|$，所以：
$$|p(x+y)|=p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)\leqslant |p(x)|+|p(y)|$$
这部分你已经想到了，完全成立。当$p(x+y)<0$时：
此时$|p(x+y)|=-p(x+y)$，我们需要证明$-p(x+y)\leqslant |p(x)|+|p(y)|$。
先利用$p$的次可加性推导一个小结论：
因为$p(0)=p(x+(-x))\leqslant p(x)+p(-x)$，而根据正齐次性，$p(0)=p(\lambda\cdot0)=\lambda p(0)$对任意$\lambda>0$，所以$p(0)=0$。由此可得：
$$0\leqslant p(x)+p(-x) \implies p(-x)\geqslant -p(x)$$
同理也能得到$p(x)\geqslant -p(-x)$，所以$|p(x)|=|p(-x)|$（绝对值的定义就是取正负中的最大值，这里两者的绝对值相等）。现在回到$-p(x+y)$，利用次可加性：
$$p(x)=p((x+y)+(-y))\leqslant p(x+y)+p(-y)$$
把$p(x+y)$移到左边，$-p(x+y)\leqslant p(-y)-p(x)$。
而$p(-y)\leqslant |p(-y)|=|p(y)|$，$-p(x)\leqslant |p(x)|$，所以：
$$-p(x+y)\leqslant |p(y)|+|p(x)|$$
也就是$|p(x+y)|\leqslant |p(x)|+|p(y)|$，这部分也成立。
结论
不管哪种情况，$|p|$都满足次可加性和正齐次性，所以$|p|$也是题目定义下的凸泛函。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user173262
