关于《Linear Algebra Done Right》第4版6.B.6题(b)的求解问询

大家好，我现在正试着解决Axler《Linear Algebra Done Right》第4版6.B节第6题的(b)部分，先把完整题目贴出来：

设$e_1,\dots,e_n$是内积空间$V$的一组标准正交基。

(a) 证明：若$V$中的向量$v_1,\dots,v_n$满足对每个$k$都有$|e_k - v_k| < \frac{1}{\sqrt{n}}$，则$v_1,\dots,v_n$是$V$的一组基。

(b) 证明存在$V$中的向量$v_1,\dots,v_n$，使得对每个$k$都有$|e_k - v_k| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$，但$v_1,\dots,v_n$不是线性无关的。

目前我已经理清了n=1和n=2的情况：

• n=1时，取$v_1=0$，此时$|e_1 - v_1|=1=\frac{1}{\sqrt{1}}$，显然零向量线性相关，满足题设要求；
• n=2时，我也找到了符合条件的线性相关向量组，但到了n≥3的情况，就不知道该怎么构造出满足要求的向量组了。

有没有大佬能给我点思路，或者直接给出一个对任意n都适用的构造方法呀？谢谢啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pouya