关于NS Gopalakrishnan著作中φ_R同构性的证明疑问

嘿，我来帮你拆解这个$\phi_R$是同构的证明，一步步来就很清晰啦～

首先把$M$替换成$R$，明确我们要处理的两个模：

• 左边是$A \otimes_R \text{Hom}_R(R, N)$
• 右边是$\text{Hom}_A(A \otimes_R R, A \otimes_R N)$

我们可以先利用几个模论里的基本同构简化两边，再直接分析$\phi_R$的双射性：

先回忆几个基础同构 #

在开始证明前，先记住两个常用的模同构结论：

1. 对任意$R$-模$N$，$\text{Hom}_R(R, N) \cong N$：这个同构把每个$R$-模同态$f: R \to N$映射到$f(1) \in N$，逆映射是把$n \in N$对应到同态$f_n(r) = r \cdot n$（也就是把$R$中元素$r$映射到$r$乘$n$）。
2. 对任意$R$-代数$A$，$A \otimes_R R \cong A$：这个同构把$a \otimes r$映射到$a \cdot r$，逆映射是把$a \in A$对应到$a \otimes 1$。

证明$\phi_R$是单射 #

假设$\phi_R(a \otimes f) = 0$，也就是对应的同态$g_{a \otimes f}$是零同态——意味着对所有$b \otimes r \in A \otimes_R R$，都有$g_{a \otimes f}(b \otimes r) = ab \otimes f(r) = 0$。

我们取特殊值验证：令$b=1$，$r=1$，代入后得到$a \otimes f(1) = 0$。结合第一个基础同构，$f$对应$n=f(1) \in N$，所以$a \otimes n = 0$在$A \otimes_R N$中。而左边的$A \otimes_R \text{Hom}_R(R,N)$和$A \otimes_R N$是同构的，$a \otimes f$正好对应$a \otimes n$，所以$a \otimes f$在左边的模里就是零元。这就说明$\phi_R$把零元以外的元素都不会映射到零，也就是单射。

证明$\phi_R$是满射 #

任取一个$A$-模同态$g \in \text{Hom}A(A \otimes_R R, A \otimes_R N)$，结合第二个基础同构，$A \otimes_R R \cong A$，所以$g$可以看作是从$A$到$A \otimes_R N$的$A$-模同态。设$g(1 \otimes 1) = \sum{i} a_i \otimes n_i$（这里$a_i \in A$，$n_i \in N$）。

现在对每个$n_i$，定义对应的$R$-模同态$f_i: R \to N$，其中$f_i(r) = r \cdot n_i$。我们来看$\phi_R(\sum_{i} a_i \otimes f_i)$对应的同态：
它作用在任意$b \otimes r \in A \otimes_R R$上时，结果是$\sum_{i} g_{a_i \otimes f_i}(b \otimes r) = \sum_{i} a_i b \otimes f_i(r) = \sum_{i} a_i b \otimes r n_i$。

而因为$g$是$A$-模同态，$g(b \otimes r) = g(b \cdot (1 \otimes r)) = b \cdot g(1 \otimes r) = b \cdot g(r \cdot (1 \otimes 1)) = b r \cdot g(1 \otimes 1) = b r \cdot \sum_{i} a_i \otimes n_i = \sum_{i} a_i b \otimes r n_i$，和上面的结果完全一致。

这就说明$\phi_R(\sum_{i} a_i \otimes f_i) = g$，也就是说任意右边的同态都能被左边的元素映射到，所以$\phi_R$是满射。

既然$\phi_R$既是单射又是满射，那它自然就是同构啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Swaraj Koley