关于复矩阵代数<span class="math-container">$M_n(\mathbb{C})$</span>非平凡非内自同构自同态的存在性问询

嘿，我最近在研究复矩阵代数 $M_n(\mathbb{C})$ 的自同态问题，想跟大家聊聊我的困惑：

先明确几个关键定义：

• 代数自同态：函数 $f:M_n(\mathbb{C})\rightarrow M_n(\mathbb{C})$，满足线性性，同时保持乘法运算，即 $f(AB)=f(A)f(B)$。
• 内自同构：属于代数自同态的一个子类，要求存在可逆矩阵 $P\in M_n(\mathbb{C})$，使得对任意矩阵 $X$，都有 $f(X)=P^{-1}XP$。

目前我已经搞懂了两个结论：

1. $M_n(\mathbb{C})$ 的所有代数自同构（也就是双射的自同态）都是内自同构；
2. 零自同态（把每个矩阵都映射成零矩阵）是一个非双射的自同态，而且显然不属于内自同构。

但我一直没找到答案的问题是：零自同态是唯一的这类非双射自同态吗？有没有非平凡的（即不是零映射的）非双射自同态，它们同样不是内自同构？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fabien C.