关于积分$ \int_{0}^{\exp(-1)} \frac{\ln \ln \frac{1}{x}}{1+x^{2}} dx $的求值问询

背景 #

先给大家铺垫一下相关的已知结果：Blagouchine的一篇论文第22页里，给出了一个Malmsten积分的求值：
$$ \int_{0}^{1} \frac{\ln \ln \frac{1}{x}}{1+x^{2}} dx = \frac{\pi}{2} \ln\left( \frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)} \sqrt{2 \pi} \right). \tag{1} $$

这个等式也能在Gradshteyn和Ryzhik所著的*《积分、级数与乘积表》*第七版第570页的条目4.325.4中查到。

如果我们定义函数 $f(x) := \frac{ \ln \ln \frac{1}{x} }{ (1+x^{2})}$，可以发现这个函数在 $x^{*} = e^{-1}$ 处的值是0。

我的问题 #

我现在好奇的是，下面这个积分能不能求出解析表达式：
$$ A:= \int_{0}^{\exp(-1)} \frac{\ln \ln \frac{1}{x}}{1+x^{2}} dx. $$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Max Lonysa Muller