求集合{aₙ | n≥7}的最小元素及相关证明的求助

大家好，我最近碰到这么一个数论问题，卡了好久，想请教下各位：

问题内容 #

给定自然数n，定义$a_n$为区间$[n\sqrt{2}, n\sqrt{3}]$内的整数个数，现在需要找出集合${a_n | n ≥ 7}$的最小元素。

我的尝试与困惑 #

• 最开始我先试了几个小的n值：
  • n=7的时候，算出来$a_7=3$；
  • n=8的时候，$a_8=2$；
  • 从n=9开始，我感觉$a_n$好像开始变大了。
• 为了确认结果，我写了一段C++代码跑了一下，发现这个最小元素应该是2，这也就意味着我需要证明当n>8时，$a_n > 2$，但我完全摸不着头绪，不知道该怎么推导这个结论。
• 现在我卡在这里了，实在不知道下一步该怎么做，希望有大佬能指点一下！谢谢啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1353144