Python实现L1与L∞度量下两点间平分线的绘制需求

嘿，这个问题我之前做计算几何可视化的时候也遇到过！带绝对值和max的方程确实没法直接用y=ax+b这种直线公式来绘制，但咱们有两种靠谱的方案可以搞定——一种是分区域拆解方程，精确绘制分段线性的平分线，另一种是数值采样点集，快速验证并绘制。下面给你详细拆解，附Python代码示例：

这种方法的核心是去掉绝对值和max函数，把原方程拆成多个带约束的线性方程，每个方程对应平面上的一个区域，然后绘制每个区域内符合条件的线段。

1. L₁度量（曼哈顿距离）的平分线 #

你的方程是：|x-x₁| + |y-y₁| = |x-x₂| + |y-y₂|，整理后可以拆成两条互相垂直的直线：

• x + y = (x₁ + y₁ + x₂ + y₂)/2
• x - y = (x₁ - y₁ + x₂ - y₂)/2

所有满足原方程的点都在这两条直线上，直接绘制即可覆盖全部平分线区域。

2. L∞度量（切比雪夫距离）的平分线 #

你的方程是：max(|x-x₁|, |y-y₁|) = max(|x-x₂|, |y-y₂|)，可以拆成四种带约束的情况：

1. 当|x-x₁| ≥ |y-y₁|且|x-x₂| ≥ |y-y₂|：方程简化为x = (x₁+x₂)/2，仅在y的范围[y₁ - |(x₂-x₁)/2|, y₁ + |(x₂-x₁)/2|]内有效
2. 当|x-x₁| ≥ |y-y₁|且|x-x₂| < |y-y₂|：方程变为|x-x₁| = |y-y₂|，对应两条直线y = x - (x₁ - y₂)和y = -x + (x₁ + y₂)，需筛选满足约束的线段
3. 当|x-x₁| < |y-y₁|且|x-x₂| ≥ |y-y₂|：方程变为|y-y₁| = |x-x₂|，对应两条直线y = x + (y₁ - x₂)和y = -x + (y₁ + x₂)，需筛选满足约束的线段
4. 当|x-x₁| < |y-y₁|且|x-x₂| < |y-y₂|：方程简化为y = (y₁+y₂)/2，仅在x的范围[x₁ - |(y₂-y₁)/2|, x₁ + |(y₂-y₁)/2|]内有效

把这些线段组合起来，就是L∞度量下的完整平分线。

如果不想花时间推导分段方程，数值采样是个偷懒但有效的方法：生成大量的(x,y)点，判断每个点是否满足平分线方程（可以加一个微小的误差容忍，比如abs(left_side - right_side) < 1e-3），然后把符合条件的点收集起来绘制。

Python代码示例（两种方案结合） #

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定义两点坐标
x1, y1 = 0, 0
x2, y2 = 3, 2

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# 方案一：精确绘制L1和L∞平分线
# --------------------------
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# L1度量平分线
l1_line1 = lambda x: (x1 + y1 + x2 + y2)/2 - x
l1_line2 = lambda x: x - (x1 - y1 + x2 - y2)/2

x_l1 = np.linspace(min(x1, x2)-2, max(x1, x2)+2, 100)
ax1.plot(x_l1, l1_line1(x_l1), label='L1 平分线1', color='red')
ax1.plot(x_l1, l1_line2(x_l1), label='L1 平分线2', color='blue')
ax1.scatter([x1, x2], [y1, y2], color='black', s=50)
ax1.set_title('L₁度量下的两点平分线')
ax1.legend()
ax1.grid(True)

# L∞度量平分线
dx = x2 - x1
dy = y2 - y1
mid_x = (x1 + x2)/2
mid_y = (y1 + y2)/2

# 情况1：x=mid_x，满足约束
y_range1 = np.linspace(y1 - abs(dx/2), y1 + abs(dx/2), 100)
ax2.plot([mid_x]*len(y_range1), y_range1, color='red', label='L∞ 线段1')

# 情况4：y=mid_y，满足约束
x_range4 = np.linspace(x1 - abs(dy/2), x1 + abs(dy/2), 100)
ax2.plot(x_range4, [mid_y]*len(x_range4), color='blue', label='L∞ 线段4')

# 情况2：|x-x1|=|y-y2|，筛选约束点
x_range2 = np.linspace(min(x1, x2)-2, max(x1, x2)+2, 100)
y2_1 = x_range2 - (x1 - y2)
y2_2 = -x_range2 + (x1 + y2)
mask2_1 = (abs(x_range2 - x1) >= abs(y2_1 - y1)) & (abs(x_range2 - x2) < abs(y2_1 - y2))
mask2_2 = (abs(x_range2 - x1) >= abs(y2_2 - y1)) & (abs(x_range2 - x2) < abs(y2_2 - y2))
ax2.plot(x_range2[mask2_1], y2_1[mask2_1], color='green', label='L∞ 线段2')
ax2.plot(x_range2[mask2_2], y2_2[mask2_2], color='green')

# 情况3：|y-y1|=|x-x2|，筛选约束点
y3_1 = x_range2 + (y1 - x2)
y3_2 = -x_range2 + (y1 + x2)
mask3_1 = (abs(x_range2 - x1) < abs(y3_1 - y1)) & (abs(x_range2 - x2) >= abs(y3_1 - y2))
mask3_2 = (abs(x_range2 - x1) < abs(y3_2 - y1)) & (abs(x_range2 - x2) >= abs(y3_2 - y2))
ax2.plot(x_range2[mask3_1], y3_1[mask3_1], color='orange', label='L∞ 线段3')
ax2.plot(x_range2[mask3_2], y3_2[mask3_2], color='orange')

ax2.scatter([x1, x2], [y1, y2], color='black', s=50)
ax2.set_title('L∞度量下的两点平分线')
ax2.legend()
ax2.grid(True)

# --------------------------
# 方案二：数值采样法示例（L1）
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fig2, ax3 = plt.subplots(figsize=(6,5))
x_sample = np.linspace(min(x1,x2)-3, max(x1,x2)+3, 500)
y_sample = np.linspace(min(y1,y2)-3, max(y1,y2)+3, 500)
X, Y = np.meshgrid(x_sample, y_sample)

l1_diff = abs(X - x1) + abs(Y - y1) - (abs(X - x2) + abs(Y - y2))
mask = abs(l1_diff) < 1e-3
ax3.scatter(X[mask], Y[mask], s=1, color='purple', label='L1 采样点')
ax3.scatter([x1, x2], [y1, y2], color='black', s=50)
ax3.set_title('数值采样法绘制L₁平分线')
ax3.legend()
ax3.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

• 方案一的精确绘制需要注意约束条件，否则会画出超出有效区域的线段，代码里已经通过mask做了筛选；
• 方案二的采样密度可以通过调整linspace的点数来控制，点数越多精度越高，但计算量也会增加；
• 如果你需要处理特殊情况（比如两点重合、在同一水平线/垂直线上），可以在代码里添加判断分支做特殊处理。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gaganso